【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)
【4-9】既約分解行列 \(T\)
最終的な既約分解行列 \(T\) を求める計算は(Fig.1)の(STEP3)の部ですが、この部分を下図(Fig.3)で更に詳細に説明します。 まず、ブロック分解行列 \(Q\) を以下の2つの行列 \(Q_1,Q_2\) に分割します。
\(Q_1\) は \(Q\) の第1列と第4列を抜き出した(20x4)の行列で、\(Q_2\) は \(Q\) の第5列から第20列を抜き出した(20x16)の行列で定義されます。 次に 上記(Fig.3)の中段の図にある様に以下の行列を計算します。
\(Q_2\) と 前節で求めた \(R\) を掛け合わせ \(S_2\) を生成します。 そして、(9.1)の様に \(Q_1\) と \(S_2\) とを合体して、行列 \(T\) を生成します。 この行列が最終的に求める行列で、正則表現 \(L_i\) を既約表現まで分解する分解行列となります。
\begin{align} S_2:=Q_2 \times R \qquad \Rightarrow \qquad T=[Q_1,S_2] \\ \end{align}
\begin{align} T=&\begin{bmatrix}1 & -i & -1 & i & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & i & -1 & -i & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \\ \notag \\ T^{-1}=\frac{1}{20}& \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ i & i & i & i & i & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -i & -i & -i & -i & -i & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -i & -i & -i & -i & -i & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & i & i & i & i & i & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0\\ -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & -4\\ 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0\\ 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4\\ 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0\\ -4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4\\ 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 4\\ -4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0 & -4\\ 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0 & 4 & -4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 4\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{T,T^{-1}\}\) を使って、(14.5)の様に\(\widetilde{L_i}\) を計算すると、\(20 \times 20\)の正則表現行列は、 (9.5)に示しように \(4 \times (1 \times 1)+4 \times (4 \times 4)\)の小行列に分解される事が判ります。
(9.6)に実際に正則表現を既約表現までに分解した行列 \(L_{11}\)を示しておきます。
\begin{align} & \widetilde{L_i}=T^{-1} \times L_i \times T= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0&0&0&0&0\\ 0 & \boxed{* }& 0 & 0 & 0 &0&0&0 \\ 0 &0& \boxed{* }& 0 & 0 & 0 &0&0 \\ 0 &0&0& \boxed{* }& 0 & 0 & 0 &0 \\ 0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&* \\ *& 4 \times 4 &* \\ *&*& * \end{matrix}} & 0 & 0 &0\\ 0&0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&* \\ *&4 \times 4&* \\ *&*&* \end{matrix}} & 0 & 0\\ 0&0&0&0&0&0&\boxed{ \begin{matrix} *&*&* \\ *&4 \times 4&* \\ *&*&* \end{matrix}} & 0\\ 0&0&0&0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&* \\ *&4 \times 4&* \\ *&*&* \end{matrix}}\\ \end{pmatrix} \\ \end{align}
\begin{align} &\widetilde{L_{11}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \end{align}
以上で最終目標の既約分解行列 \(T\) と既約表現 \(\widetilde{L_i}\) を求める事が出来ました。
