【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-10】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
(9.9)の方程式は未知数が16で、方程式の数は12です。従って4つのパラメーターを決めれば解が決定されます。(9.9)をみると4つの変数 \([x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]\) が決まればほかの変数の値は決定します。 従って、独立の解としては(10.1)～(10.4)に示す4つのパラメーターの取り方が考えられます。 このパラメーターは(Fig.3)のSTEP4の黄色の部分に相当します。 それぞれのパラメータの取り方に対応した \([x_{1,1},...,x_{4,4}]\) の解が矢印の右に示されています。
\begin{align} &(1) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[1,0,0,0] \quad \rightarrow [0,0,0,1,0,0,-1,cs_2,cs_2,-1,0,0,1,0,0,0] \\ &(2) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,1,0,0] \quad \rightarrow [0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0] \\ &(3) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0, 0,1,0] \quad \rightarrow [0,1,0,0,-1,cs_2,0,0,0,0,cs_2,-1,0,0,1,0] \\ &(4) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,0,0,1] \quad \rightarrow [1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1] \\ \end{align}
上記(1)～(4)の解に対応した解の行列 \(\{X_1,..,X_4\}\) を(10.5)(10.6)に示します。
\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs_2\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_3=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &X_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{X_1,..,X_4\}\) に対応する固有方程式を(10.7)に示します。この中で \((\lambda-1)^2\) の因子を持つ \(\{X_1,X_2\}\) の 固有値1の固有ベクトルを \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\}\) とします。
この4つのベクトルを縦に並べて(10.8)の様に \(R_3\) と、その逆行列 \(R_3^{-1}\) を計算します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_1:(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{1}=[0,-1,1,0], \quad \mathbf{v}_{2}=[1,cs_2,0,1] \\ X_2 :(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{3}=[1,0,1,0] , \quad \mathbf{v}_{4}=[0,1,0,1] \\ X_3:(\lambda^2-cs_2\lambda+1)^2=0 \\ X_4:(\lambda-1)^4=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &R_3=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}]= \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \qquad R_3^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{5}+5}{10} & \frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10}\\ -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}-5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10}\\ \frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}-5}{10}\\ \frac{\sqrt{5}-5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10}\end{bmatrix}\\ \end{align}
次に、この \(\{R_3,R_3^{-1}\}\) を使って、(10.9)の様に\(\widetilde{D_i}\) を計算すると、(10.10)～(10.14)に示すように(4x4)の行列は(2x2)+(2x2)の小ブロックに分解される事が判ります。 この部分は(Fig.1)の(STEP2)の部分に相当します。
また、これら(2x2)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。
\begin{align} & \widetilde{D_i}=R_3^{-1} \times D_i \times R_3 & & & & \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\widetilde{D_1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{D_2}=\begin{bmatrix}cs_2 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\\ \notag \\ &\widetilde{D_3}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{D_4}=\begin{bmatrix}-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & cs_2 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{D_5}=\begin{bmatrix}-1 & cs_2 & 0 & 0\\-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{D_6}= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{D_7}= \begin{bmatrix}-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{D_8}=\begin{bmatrix}-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{D_9}=\begin{bmatrix}cs_2 & -1 & 0 & 0\\-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & -1 & cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{D_{10}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} \\ \end{align}
