【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)
【4-1】 \(F_{20}\) の既約分解の流れ
下図Fig.1は、Frobenius群 \(F_{20}\) の正則表現 \(L_i\) を既約表現 \(\widetilde{L_i}\) に分解する計算の流れを数に示します。
(STEP1)
\(L_i\)：\(F_{20}\) の元の（左）正則表現行列。\([i=1,2,..,20]\)
\(Q_i\)：指標表から計算される射影演算子の固有ベクトルより生成されるブロック分解の為の変換行列。
因みにこの行列 \(Q\) で変換された行列 \(\breve{L_{i}}\) は既約表現ではありません。既約表現の途中段階だと思ってください。
(STEP2)
\(R\)：(16x16)の小ブロック \(B_i\) を(4x4)+(4x4)+(4x4)+(4x4)の既約表現 \(\widetilde{B_i}\) にまで既約分解する変換行列。
(STEP3)
\(T\)：行列 \(Q\) と \(R\) を合体して正則表現 \(L_i\) を一気に既約表現 \(\widetilde{L_i}\) にまで分解する変換行列。
本章の最終目標はこの正則表現を完全に既約表現に変換する行列 \(T\) を求める計算法を解説する事です。
【2-2】\(F_{20}\) の元と番号付け
先ずは \(F_{20}\) の元それぞれに対応する（左）正則表現を求める為の準備から始めます。表現論では、群の元の順番付けが非常に重要となります。
何故ならば元の番号が変わると対応する元の行列表示が全く異なってしまうからです。下記【表1】では、共役類ごと元がまとまるように並べられ番号付けがされております。
| \(F_{20}\) の元 | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{2}\) | \(\sigma_{3}\) | \(\sigma_{4}\) | \(\sigma_{5}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) |
| 巡回置換 | \(e\) | \((12345)\) | \((13524)\) | \((14253)\) | \((15432)\) |
| \(F_{20}\) の元 | \(\sigma_{6}\) | \(\sigma_{7}\) | \(\sigma_{8}\) | \(\sigma_{9}\) | \(\sigma_{10}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 3 & 5 & 2 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 5 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 1 & 3 & 5 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 2 & 4 & 1 & 3\end{pmatrix}\) |
| 巡回置換 | \((2354)\) | \((1243)\) | \((1325)\) | \((1452)\) | \((1534)\) |
| \(F_{20}\) の元 | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{12}\) | \(\sigma_{13}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{15}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 5 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 3 & 2 & 1 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\) |
| 巡回置換 | \((25)(34)\) | \((14)(23)\) | \((12)(35)\) | \((15)(24)\) | \((13)(45)\) |
| \(F_{20}\) の元 | \(\sigma_{16}\) | \(\sigma_{17}\) | \(\sigma_{18}\) | \(\sigma_{19}\) | \(\sigma_{20}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 4 & 2 & 5 & 3\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 1 & 4 & 2 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 5 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 2 & 5 & 3 & 1\end{pmatrix}\) |
| 巡回置換 | \((2453)\) | \((1342)\) | \((1523)\) | \((1254)\) | \((1435)\) |
【2-3】\(F_{20}\) の積表
\(F_{20}\) の元同士は積の演算が定義されています。例えば(3.1)では \( \sigma_2 \circ \sigma_9\) の積の例を示してあります。 注意する事は、積 \( \sigma_2 \circ \sigma_9\) は、 \( (1,2,3,4,5) \) という数字の順列に対して、右の \((\sigma_9)\) から左 \((\sigma_2)\) に 数字の置換がなされてゆくという順番です。
全ての元同士の積の演算結果を【表2】にまとめておきました。
\begin{align} &[e.g.] \qquad \sigma_2 \circ \sigma_9=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 2&3&4&5&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 4&1&3&5&2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 5&2&4&1&3 \end{pmatrix} =\sigma_{10} \\ \end{align}
| \( i \ \backslash \ j \) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{20}}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( {\sigma_1}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{20}}\) |
| \( {\sigma_2}\) | \( {\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{18}}\) |
| \( {\sigma_3}\) | \( {\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{16}}\) |
| \( {\sigma_4}\) | \( {\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{19}}\) |
| \( {\sigma_5}\) | \( {\sigma_5}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{17}}\) |
| \( {\sigma_6}\) | \( {\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_2}\) |
| \( {\sigma_7}\) | \( {\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_3}\) |
| \( {\sigma_8}\) | \( {\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) |
| \( {\sigma_9}\) | \( {\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) |
| \( {\sigma_{10}}\) | \( {\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) |
| \( {\sigma_{11}}\) | \( {\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_8}\) |
| \( {\sigma_{12}}\) | \( {\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_6}\) |
| \( {\sigma_{13}}\) | \( {\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_9}\) |
| \( {\sigma_{14}}\) | \( {\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_7}\) |
| \( {\sigma_{15}}\) | \( {\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{10}}\) |
| \( {\sigma_{16}}\) | \( {\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{14}}\) |
| \( {\sigma_{17}}\) | \( {\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{13}}\) |
| \( {\sigma_{18}}\) | \( {\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{12}}\) |
| \( {\sigma_{19}}\) | \( {\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_{20}}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{15}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{11}}\) |
| \( {\sigma_{20}}\) | \( {\sigma_{20}}\) | \({\sigma_{19}}\) | \({\sigma_{18}}\) | \({\sigma_{17}}\) | \({\sigma_{16}}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_{12}}\) | \({\sigma_{14}}\) | \({\sigma_{11}}\) | \({\sigma_{13}}\) | \({\sigma_{15}}\) |
（注）【表2】には \(\sigma_i \circ \sigma_j=\sigma_1 \) となるセルを黄色で色付けしてあります。これによって、 \(F_{20}\) の各元の逆元が同じ共役類の中にある事がすぐに判る様になっています。 この後の節で（式(5.1)参照）、射影演算子からブロック分解行列 \(Q\) を求める際に \(\sigma_{i}^{-1}\) はどの元になるか？そしてその指標は何か？が重要となります。
その時に、この積表を参考にすると、直ぐに逆元と指標の値が判ると思います。
