【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\)
これから、(Fig.1)の(STEP2)の計算に移ります。先ず(Fig.1)の(STEP2)の計算の流れを詳細に説明したのが(Fig.2)です。 これからの説明はこの図に従って説明してゆきます。
\begin{align} B_{1}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & B_{2}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & B_{3}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ B_{4}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\1 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} & B_{5}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & B_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に上記６つの行列 \(\{B_1,B_2,...,B_6\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 \(X\) の16の成分を \(x_{i,j}\) とします。
但し \(B_1\) は単位行列なので、どの様な行列とも交換可能なので、以下の計算からは除外します。
\begin{align} X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4}\\x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4}\\x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4}\end{bmatrix} \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(B_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot B_i-B_i \cdot X=0\) となります。 \(B_2\) の例を式(7.4)に示します。(7.4)は \(x_{i,j}\) に関して、16本の方程式を提供します。ここが(Fig.2)の(STEP1)の部分に相当します。
\begin{align} &X \cdot B_2-B_2 \cdot X=\begin{bmatrix}x_{1,4}-x_{4,1} & x_{1,3}-x_{4,2} & x_{1,2}-x_{4,3} & x_{1,1}-x_{4,4}\\ x_{2,4}-x_{3,1} & x_{2,3}-x_{3,2} & x_{2,2}-x_{3,3} & x_{2,1}-x_{3,4}\\ x_{3,4}-x_{2,1} & x_{3,3}-x_{2,2} & x_{3,2}-x_{2,3} & x_{3,1}-x_{2,4}\\ x_{4,4}-x_{1,1} & x_{4,3}-x_{1,2} & x_{4,2}-x_{1,3} & x_{4,1}-x_{1,4}\end{bmatrix}=0 \\ \end{align}
この16本の方程式を、 \(x_{i,j}\) を(7.5)の様に縦ベクトルとした時に、(7.4)を書き直すと(16x16)の行列を使った(7.6)の形の方程式となります。 ここが(Fig.2)の(STEP2)の部分に相当します。
\begin{align} [ x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},x_{1,4},x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},x_{2,4},x_{3,1},x_{3,2},x_{3,3},x_{3,4},x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]^T \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\begin{bmatrix}0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{B_2,...,B_6\}\) までの5個の行列を使って、(7.6)のような 方程式を生成し、全てを合体すると(80x16)の行列方程式となります。ここが(Fig.2)の(STEP3)に相当します。
その80本の方程式をガウス消去法で 行簡約階段形にまで変形すると(7.7)の様に(12x16)の行列で表現される連立方程式を得る事が出来ます。 ここが(Fig.2)の(STEP4)に相当します。
\begin{align} &\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \end{align}
(7.7)の方程式は未知数が16で、方程式の数は12です。従って4つのパラメーターを決めれば解が決定されます。
(7.7)をみると4つの変数 \([x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]\) が決まればほかの変数の値は決定します。 従って、独立の解としては(7.8)～(7.11)に示す4つのパラメーターの取り方が考えられます。 このパラメーターは(Fig.2)のSTEP4の黄色の部分に相当します。 それぞれのパラメータの取り方に対応した \([x_{1,1},...,x_{4,4}]\) の解が矢印の右に示されています。
\begin{align} &(1) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[1,0,0,0] \quad \rightarrow[ 0,0,0,1,0,0,-1,-1,-1,-1,0,0,1,0,0,0] \\ &(2) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,1,0,0] \quad \rightarrow[ 0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0] \\ &(3) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0, 0,1,0] \quad \rightarrow [ 0,1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,1,0]\\ &(4) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,0,0,1] \quad \rightarrow [ 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1] \\ \end{align}
(1)～(4)の解に対応した解の行列 \(\{X_1,..,X_4\}\) を(7.12)(7.13)に示します。
\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_3=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &X_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
