【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-5】\(D_5\) の指標表と射影演算子
今二面体群 \(D_5\) の指標表が【表3】である事が既知として話を始めます。| \(D_5\)の共役類 | \(C_{1}\) | \(C_{2}\) | \(C_{3}\) | \(C_{4}\) |
|---|---|---|---|---|
| 共役類の代表元 | \((1) \) | \( (1,2,3,4,5) \) | \( (1,3,5,2,4) \) | \( (2,5)(3,4) \) |
| 共役類の元 | \(\sigma_{1} \) | \(\sigma_{2},\sigma_{3} \) | \( \sigma_{4},\sigma_{5} \) | \( \sigma_{6},\sigma_{7},\sigma_{8},\sigma_{9},\sigma_{10} \) |
| 共役類の元の数 | \( 1\) | \( 2 \) | \( 2 \) | \( 5 \) |
| \(\chi_{1}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) | \( 1 \) |
| \( \chi_{2}\) | \( 1\) | \( 1\) | \( 1 \) | \( -1 \) |
| \( \chi_{3}\) | \( 2 \) | \(cs_1 \) | \( cs_2 \) | \( 0 \) |
| \( \chi_{4}\) | \( 2 \) | \( cs_2 \) | \( cs_1 \) | \( 0 \) |
前節で \(D_5\) の左正則表現 \(L_i\) が求まったので、 \(D_5\) の射影演算子は(5.1)で定義できるようになりました。
ここで、\(d_{\rho}\) は表現の次元数を表すので、共役類\(C_1\) の指標と同じ \(\{d_{1}=1,d_{2}=1,d_{3}=2\}\)となります。
また \(\vert G \vert\) は群の位数を表すので \(6\) となります。
\begin{align} P_{\rho}&=\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{10} \chi_{\rho}(\sigma_i^{-1}) \cdot L_i \qquad [\rho=1,2,3,4] \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_1=\frac{1}{10} \biggl( L_1+ ( L_2+ L_3)+ (L_4+ L_5)+ (L_6 + L_7+ L_8+ L_9+ L_{10}) \biggr) \\ P_2=\frac{1}{10} \biggl( L_1+ ( L_2+ L_3)+ (L_4+ L_5)- (L_6 + L_7+ L_8+ L_9+ L_{10})\biggr) \\ P_3=\frac{2}{10} \biggl(2 \cdot L_1 +cs_1( L_2+ L_3) + cs_2( L_4+ L_5) \biggr) \\ P_4=\frac{2}{10} \biggl(2 \cdot L_1 +cs_2( L_2+ L_3) + cs_1( L_4+ L_5) \biggr) \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
具体的に(4.7)～(4.11)の左正則表現の行列の値を代入すると以下の行列となります。
また \(\{P_1,P_2,P_3,P_4\}\) の行列の固有方程式を見ると固有値は、\(\{0,1\}\) となる事が判ります。
そこで、各々の行列の固有値 \(1\) に対応する 固有ベクトルを計算すると、以下の \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},...,\mathbf{v}_{10}\}\) となります。
\begin{align} \notag \\ P_1&=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} \left( \lambda -1\right) {{\lambda }^{9}}=0\\ \\ \mathbf{v}_{1}=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]^T\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ P_2&=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} \left( \lambda -1\right) {{\lambda }^{9}}=0\\ \\ \mathbf{v}_{2}=[-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ P_3&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}2 &cs_1&cs_1&cs_2&cs_2& 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_1 & 2 &cs_2&cs_1&cs_2& 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_1 &cs_2& 2 &cs_2&cs_1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ cs_2 &cs_1&cs_2& 2 &cs_1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_2 &cs_2&cs_1&cs_1& 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 &cs_1&cs_2&cs_2& cs_1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &cs_1& 2 &cs_1&cs_2& cs_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &cs_2&cs_1& 2 &cs_1& cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &cs_2&cs_2&cs_1& 2 & cs_1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &cs_1&cs_2&cs_2&cs_1& 2\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\lambda }^{6}}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{3}=[-cs_1,cs_1,-1,1,0,0,0,0,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{4}=[-cs_1,-1,cs_1,0,1,0,0,0,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{5}=[0,0,0,0,0,-1,-cs_1,cs_1,1,0]^T\\ \mathbf{v}_{6}=[0,0,0,0,0,cs_1,-cs_1,-1,0,1]^T\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ P_4&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}2 & cs_2 & cs_2 & cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_2 & 2 & cs_1 & cs_2 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_2 & cs_1 & 2 & cs_1 & cs_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ cs_1 & cs_2 & cs_1 & 2 & cs_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\cs_1 & cs_1 & cs_2 & cs_2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & cs_2 & cs_1 & cs_1 & cs_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 2 & cs_2 & cs_1 & cs_1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & cs_2 & 2 & cs_2 & cs_1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & cs_1 & cs_2 & 2 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & cs_1 & cs_1 & cs_2 & 2\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\lambda }^{6}}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{7}=[-cs_2,cs_2,-1,1,0,0,0,0,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{8}=[-cs_2,-1,cs_2,0,1,0,0,0,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{9}=[0,0,0,0,0,-1,-cs_2,cs_2,1,0]^T\\ \mathbf{v}_{10}=[0,0,0,0,0,cs_2,-cs_2,-1,0,1]^T\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(5.3)～(5.6) の10本のベクトを使って以下の様に変換行列 \(Q\) を構成します。
この部分の計算で(Fig.1)の(STEP1)の中で現れる行列 \(Q\) が登場します。
\begin{align} Q&=[\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6},\mathbf{v_7},\mathbf{v_8},\mathbf{v_9},\mathbf{v_{10}}] \\ \notag \\ Q&=\begin{bmatrix}1 & -1 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\ 1 & -1 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & -1 & cs_2\\ 1 & 1 & 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\ 1 & 1 & 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & cs_2 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ Q^{-1}&=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ cs_2 & cs_1 & cs_2 & 2 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ cs_2 & cs_2 & cs_1 & cs_1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & cs_2 & cs_1 & 2 & cs_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & cs_2 & cs_2 & cs_1 & 2\\ cs_1 & cs_2 & cs_1 & 2 & cs_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ cs_1 & cs_1 & cs_2 & cs_2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & cs_1 & cs_2 & 2 & cs_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & cs_1 & cs_1 & cs_2 & 2\end{bmatrix}\\ \end{align}
この \(Q\) を用いて \(D_5\) の左正則表現をブロック分解してみると(10x10)の行列は、(5.10)の様に(1x1)+(1x1)+(4x4)+(4x4)の小行列に分解されます。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \times L_{i} \times Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0 \\0&\boxed{ \pm 1 }&0&0\\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}}&0\\ 0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}} \end{pmatrix}\\ \end{align}
