【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-12】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
前節で計算した \(\{X_1,..,X_8\}\) に対応する固有方程式を(12.1)に示します。この中で特に \( (\lambda-1)^3\) の因子を持つ \(\{X_1,X_2,X_3,X_4,X_5\}\) の固有ベクトルを (12.1)の様に計算します。この15本の中で独立なベクトル9本を選び出して、 \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},...,\mathbf{v}_{9}\}\) としたのが(12.2)です。
よく見ると \(\{X_1,X_2,X_4 \}\) の固有ベクトル3本づつ合計9本が選ばれているようです。\(X_3\) の固有ベクトルは、\(\{X_1,X_2\}\) の固有ベクトルとは独立ではありませんでした。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_{1}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,-1,0,-1,0,0,1,0,0]^T,[0,-1,1,0,0,-1,0,1,0]^T,[1,-1,0,0,-1,0,0,0,1]^T\\ X_{2}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T,[1,0,0,-1,0,0,0,1,0]^T,[0,1,1,0,-1,-1,0,0,1]^T\\ X_{3}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T,[1,0,0,-1,0,0,0,1,0]^T,[0,1,1,0,-1,-1,0,0,1]^T\\ X_{4}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [-1,0,-1,0,1,0,0,0,0]^T,[0,-1,0,0,0,1,0,0,0]^T,[0,0,0,1,0,0,-1,-1,1]^T \\ X_{5}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \quad \rightarrow \quad [-1,-1,1,1,0,1,0,0,0]^T,[-1,0,0,0,0,0,0,1,0]^T,[-1,-1,0,1,1,0,-1,0,1]^T \\ X_{6}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \\ X_{7}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}}{{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \\ X_{8}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &\mathbf{v}_{1}=[0,-1,0,-1,0,0,1,0,0]^T & &\mathbf{v}_{2}=[0,-1,1,0,0,-1,0,1,0]^T & &\mathbf{v}_{3}=[1,-1,0,0,-1,0,0,0,1]^T \\ &\mathbf{v}_{4}=[0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T & &\mathbf{v}_{5}=[1,0,0,-1,0,0,0,1,0]^T & &\mathbf{v}_{6}=[0,1,1,0,-1,-1,0,0,1]^T\\ &\mathbf{v}_{7}= [-1,0,-1,0,1,0,0,0,0]^T & &\mathbf{v}_{8}= [0,-1,0,0,0,1,0,0,0]^T& &\mathbf{v}_{9}=[0,0,0,1,0,0,-1,-1,1]^T \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
この9本の縦ベクトルを(12.3)の様にならべて構成した行列を \(R_4\) とします。この行列は、小ブロック \(F_i\) を既約表現に分解する変換行列となります。
\begin{align} &R_4=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4},\mathbf{v}_{5},\mathbf{v}_{6},\mathbf{v}_{7},\mathbf{v}_{8},\mathbf{v}_{9}] \\ \end{align}
\begin{align} &R_4= \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad R_4^{-1} = \begin{bmatrix}0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & -\frac{3}{4} & 0\\ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{R_4,R_4^{-1}\}\) を使って、(12.5)の様に\(\widetilde{B_i}\) を計算すると、(12.6)～(12.9)に示すように(9x9)の行列は(3x3)+(3x3)+(3x3)の小ブロックに分解される事が判ります。 これら(3x3)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。この部分の計算は(Fig.1)の(STEP2)の第3行目の部分に相当しております。
\begin{align} & \widetilde{F_i}=R_4^{-1} \times F_i \times R_4 \\ \end{align}
\begin{align} \widetilde{F_{2}}&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{F_{3}}&= \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{F_{7}}&=\begin{bmatrix}0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{F_{8}}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{F_{15}}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{F_{16}}&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{F_{23}}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\- 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{F_{24}}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
