【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-9】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
これから、(Fig.1)のSTEP2の下段の計算に移ります。これからの説明は、この部分を下図(Fig.3)でさらに詳細に説明してゆきます。
\begin{align} D_{1}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & D_{2}&= \begin{bmatrix}cs_2 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}& D_{3}&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs_2\end{bmatrix}\\ \notag \\ D_{4}&=\begin{bmatrix}-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & cs_2 & -1\end{bmatrix} & D_{5}&=\begin{bmatrix}-1 & cs_2 & 0 & 0\\-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} & D_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & cs_2 & -1\\1 & 0 & 0 & 0\\cs_2 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ D_{7}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & D_{8}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 1\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & D_{9}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & -1 & cs_2\\-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ D_{10}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\end{bmatrix} & & & & & \\ \end{align}
次に上記６つの行列 \(\{D_1,D_2,...,D_{10}\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 \(X\) の16の成分を \(x_{i,j}\) とします。
\begin{align} X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4}\\x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4}\\x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4}\end{bmatrix} \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(D_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot D_i-D_i \cdot X=0\) となります。 \(D_2\) の例を式(9.6)に示します。(9.6)は \(x_{i,j}\) に関して、16本の方程式を提供します。ここが(Fig.3)の(STEP1)の部分に相当します。
\begin{align} &X \cdot D_2-D_2 \cdot X= \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\begin{pmatrix}x_{2,1}+x_{1,2} & -x_{1,2} cs_2+x_{2,2}-x_{1,1} & x_{2,3}+x_{1,4} & -x_{1,4} cs_2+x_{2,4}-x_{1,3}\\ x_{2,1} cs_2+x_{2,2}-x_{1,1} & -x_{2,1}-x_{1,2} & x_{2,3} cs_2+x_{2,4}-x_{1,3} & -x_{2,3}-x_{1,4}\\ x_{4,1}+x_{3,2} & -x_{3,2} cs_2+x_{4,2}-x_{3,1} & x_{4,3}+x_{3,4} & -x_{3,4} cs_2+x_{4,4}-x_{3,3}\\ x_{4,1} cs_2+x_{4,2}-x_{3,1} & -x_{4,1}-x_{3,2} & x_{4,3} cs_2+x_{4,4}-x_{3,3} & -x_{4,3}-x_{3,4}\end{pmatrix}=0 \\ \end{align}
\begin{align} [ x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},x_{1,4},x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},x_{2,4},x_{3,1},x_{3,2},x_{3,3},x_{3,4},x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]^T \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -cs_2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(D_1\) は単位行列なので、どのような行列とも交換可能なので考察からは除外して考えます。
従って \(\{D_2,...,D_{10}\}\) までの9個の行列を使って、(9.8)のような 方程式を生成し、全てを合体すると(144x16)の行列方程式となります。ここが(Fig.3)の(STEP3)に相当します。
その144行の方程式をガウス消去法で 行簡約階段形にまで変形すると(9.9)の様に(12x16)の行列で表現される連立方程式を得る事が出来ます。 ここが(Fig.3)の(STEP4)に相当します。
\begin{align} &\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \end{align}
