【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-8】小行列 \(B_i\) の分解行列 \(R\)
先ず前節で求めた可換行列 \(\{X_1,..,X_4\}\) を再掲します。\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_3=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &X_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_1:(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{1}=[0,-1,1,0], \quad \mathbf{v}_{2}=[1,-1,0,1] \\ X_2 :(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0\quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{3}= [1,0,1,0], \quad \mathbf{v}_{4}=[0,1,0,1] \\ X_3:(\lambda^2+\lambda+1)^2=0 \\ X_4:(\lambda-1)^4=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &R=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}]=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\-1 & -1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad R^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{R,R^{-1}\}\) を使って、(8.5)の様に\(\widetilde{B_i}\) を計算すると、(8.6)(8.7)に示すように(4x4)の行列は(2x2)+(2x2)の小ブロックに分解される事が判ります。 この部分は(Fig.1)の(STEP2)の部分に相当します。
また、これら(2x2)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。
\begin{align} & \widetilde{B_i}=R^{-1} \times B_i \times R & & & & \\ \notag \\ &\widetilde{B_1}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_2}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{B_3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_4}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_5}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{B_6}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
【1-9】既約分解行列 \(T\)
最終的な既約表現分解行列 \(T\) を求める計算の流れを以下の図で示します。(Fig.1)の(STEP3)の部分です。この部分を詳細に図にしたのが(fig.3)となります。
まず、ブロック分解行列 \(Q\) を以下の２つの行列 \(Q_1,Q_2\) に分けます。
\(Q_1\) は \(Q\) の第1列と第2列を抜き出した(6x2)の行列で、\(Q_2\) は \(Q\) の第3列から第6列を抜き出した(6x4)の行列で定義されます。 次に \(S_2=Q_2 \times R\) という行列を計算します。
\begin{align} Q_1:=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\\1 & -1\\1 & -1\\1 & 1\\1 & 1\end{bmatrix} \quad Q_2:=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 & -1\\-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad S_2:=Q_2 \times R=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1 & 0\\-1 & -1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\\ \end{align}
そして、\(Q_1\) と \(S_2\) とを合体して、正則表現 \(L_i\) を既約表現まで分解する分解行列 \(T\) を(9.2)の様に合成します。
\begin{align} T:=[Q_1,S_2]=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0\\1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad T^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-2 & 2 & -2 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & -2 & -2 & 2\\0 & -2 & 2 & 0 & 2 & -2\\-2 & 0 & -2 & 2 & 0 & 2\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{T,T^{-1}\}\) を使って、(9.3)の様に\(\widetilde{L_i}\) を計算すると、(6x6)の正則表現行列は(1x1)+(1x1)+(2x2)+(2x2)の小行列に分解される事が判ります。 (9.4)～(9.7)に実際に正則表現を既約表現までに分解した行列を示しておきます。
\begin{align} & \widetilde{L_i}=T^{-1} \times L_i \times T= \begin{bmatrix} \boxed{1}&0&0&0 \\ 0&\boxed{ \pm 1 }&0&0\\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&* \\ *&* \end{matrix}}&0\\ 0&0&0&\boxed{ \begin{matrix} *&* \\ *&* \end{matrix}} \end{bmatrix}\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\widetilde{L_1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{L_2}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{L_4}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_5}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{L_6}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
以上で最終目標の既約表現分解行列 \(T\) と既約表現 \(\widetilde{L_i}\) を求める事が出来ました。
