線形代数による群の正則表現の既約分解法: qr302

【第3章】二面体群 \(D_5\)

⇦ \(\quad \)

home \(\quad \)

【3-4】\(D_5\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)

この節では、群の表現では最も重要な「正則表現」と言う行列を定義します。
【表2】の積表を利用して以下の式(4.1)で「置換表現」 \(\rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i \ [i=1,2,..,10]\) を定義します。

\begin{align} \rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i= \pmatrix{ \sigma_1& \sigma_2& ...&\sigma_{9}&\sigma_{10}\\ \sigma_i \circ \sigma_1& \sigma_i \circ \sigma_2& ... & \sigma_i \circ \sigma_{9}& \sigma_i \circ \sigma_{10}}\\ \end{align}

更に式(4.2)の様に \(\sigma_i\) を太文字の数字 \(\boldsymbol{i}\) を使って表示することにします。

\begin{align} &\boldsymbol{1} \equiv \sigma_{1} \quad \boldsymbol{2} \equiv \sigma_{2} \quad \boldsymbol{3} \equiv \sigma_{3} \quad ...... \quad \boldsymbol{8} \equiv \sigma_{8} \quad \boldsymbol{9} \equiv \sigma_{9} \quad \boldsymbol{10} \equiv \sigma_{10} \\ \end{align}

式(4.1)(4.2)を組み合わせると式(4.3)となります。この表示\(\{\tau_i \ [i=1,2,..,10]\}\) は正式名称がついていて \(D_5\) の「置換表現」と呼ばれています。
実はこの表現は【表2】を利用すれば簡単に求められます。即ち \(\{\tau_i\}\) の第2行目は【表2】の積表の第i行目を並べているだけです。更に、【表1】の「置換2行表示」と(4.3)の「置換表現」は似ていますが区別してください。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_{per}(\sigma_1)=\tau_1&= \pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{9} & \sigma_{10}\\ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{9} & \sigma_{10}\\} &=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{9}&\boldsymbol{10} \\ \boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{9}&\boldsymbol{10}\\} \\ \rho_{per}(\sigma_2)= \tau_2&=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{9} &\sigma_{10}\\ \sigma_2&\sigma_4&\ ... &\sigma_{10}&\sigma_{6}\\} &=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{9}&\boldsymbol{10} \\ \boldsymbol{2}&\boldsymbol{4}& ... &\boldsymbol{10}&\boldsymbol{6}\\ } \\ \\ \qquad .......\\ \\ \rho_{per}(\sigma_{9})= \tau_{9}&=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{9} & \sigma_{10}\\ \sigma_{9}&\sigma_{8}& ... &\sigma_{1}&\sigma_{3}\\} &=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{9}&\boldsymbol{10} \\ \boldsymbol{9}&\boldsymbol{8}& ... &\boldsymbol{1}&\boldsymbol{3}\\} \\ \rho_{per}(\sigma_{10})= \tau_{10}&=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{9} & \sigma_{10}\\ \sigma_{10}&\sigma_{9}& ... &\sigma_{2}&\sigma_{1}\\} &=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{9}&\boldsymbol{10} \\ \boldsymbol{10}&\boldsymbol{9}& ... &\boldsymbol{2}&\boldsymbol{1}\\} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}

この置換表現 \(\{\tau_i\}\) を使って、\(\{\tau_i\}\) 同士の積表作成すると【表2】の積表の \(\sigma\) が \(\tau\) に変わっただけで、全く同一の積表となります。
この(4.3)の置換表現を使うと、\(\{\tau_i\}\) は太文字の数値によって置換が表現されます。その数値による置換表現を使うと群の元の正則表現を簡単に求める事が出来ます。

正則表現を作成する準備として、(4.4)に示すような行列単位 \(E_{ij}\) と言う行列を導入します。この行列単位 \(E_{ij}\) は、下式の様に i行j列のみ１でほかは全て0という行列です。

\begin{align} E_{ij}=&\begin{bmatrix} 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&1&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \ i \\ \\ \end{matrix} \\ &\qquad \qquad \qquad j \notag \\ \end{align}

この行列単位を使うと \(\{\tau_i\}\) の自然表現 \( \rho_{n}(\tau_i)\) は(4.5)の様に定義できます。そして、この自然表現の行列は \(D_5\) の「左正則表現」 と呼ばれています。今後、左正則表現を \(L_i\) と記すことにします。
(4.5)は例として、 \(i=2\) の場合で記述しております。

\begin{align} \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma_2) &\equiv \rho_{n}(\tau_2)=L_2=\displaystyle \sum_{k=1}^{10}E_{\tau_2(k),k} \\ &=E_{\tau_2(1),1}+E_{\tau_2(2),2}+....+E_{\tau_2(9),{9}}+E_{\tau_2(10),{10}} \notag \\ \notag \\ &\Downarrow \quad \because \ \tau_2(1)=2, \ \tau_2(2)=4, ...., \tau_2(9)=10, \ \tau_2(10)=6 \notag \\ \notag \\ &=E_{2,1}+E_{4,2}+....+E_{{10},{9}}+E_{{6},{10}}\\ \end{align}

\(D_5\) の全ての「左正則表現」 \(\{L_1,L_2,....,L_{10}\}\) を下に示しておきます。

\begin{align} \rho_{n}(\tau_{1}):=L_{1}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \rho_{n}(\tau_2):=L_2&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \rho_{n}(\tau_{3}):=L_{3} &=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & \rho_{n}(\tau_{4}):=L_{4} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \rho_{n}(\tau_{5}):=L_{5} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & \rho_{n}(\tau_{6}):=L_{6} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \rho_{n}(\tau_{7}):=L_{7} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & \rho_{n}(\tau_{8}):=L_{8} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \rho_{n}(\tau_{9}):=L_{9} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & \rho_{n}(\tau_{10}):=L_{10} &=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}

この段階で(Fig.1)の(STEP1)の \(L_i\) が計算出来ました。
まとめると、対称群の元 \(\sigma\)の左正則表現 \(\rho_{reg}(\sigma)\) は　[正則表現]＝[自然表現] \(\circ\) [置換表現]　と(4.12)の様に定式化出来る事が判ります。
ここで再度注意しておきますが、「自然表現」の演算は【表1】の「置換2行表現」や(4.3)のような「置換表現」に対して行列単位を対応させる演算です。「自然表現」はあくまでも「置換2行表示」的な数値の対応関係を行列単位を使って行列に対応させる演算子です。

\begin{align} \rho_{reg}(\sigma) \equiv \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma) \\ \end{align}

⇦ \(\quad \)

home \(\quad \)

⇨