【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-6】\(S_3\) の指標表と射影演算子とブロック分解行列 \(Q\)
今対称群 \(S_3\) の指標表が下記【表4】が既知とすることから話を始めます。| \(S_3\)の共役類 | \(C_{1}=\sigma_1\) | \(C_{2}=\{\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4\}\) | \(C_{3}=\{\sigma_5,\sigma_6\}\) |
|---|---|---|---|
| 代表元の巡回置換 | \(e\) | \((12)\) | \((123)\) |
| 恒等表現 \(\chi_1=\chi_{triv}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) |
| 交代表現 \(\chi_2= \chi_{sgn}\) | \( 1\) | \( -1 \) | \( 1 \) |
| 標準表現 \(\chi_3= \chi_{std}\) | \( 2\) | \( 0\) | \(-1 \) |
前節で \(S_3\) の左正則表現 \(L_i\) が求まったので、 \(S_3\) の射影演算子は(6.1)と定義できるようになりました。
ここで、\(d_{\rho}\) は表現の次元数を表すので、共役類\(C_1\) の指標と同じ \(\{d_{1}=1,d_{2}=1,d_{3}=2\}\)となります。
また \(\vert G \vert\) は群の位数を表すので \(6\) となります。
\begin{align} \notag \\ P_1&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} \left( \lambda -1\right) {{\lambda }^{5}}\\ \\ \mathbf{v}_{1}=[1,1,1,1,1,1]^T\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ P_2&=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} \left( \lambda -1\right) {{\lambda }^{5}}\\ \\ \mathbf{v}_{2}=[1,-1,-1,-1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ P_3&=\frac{2}{6}\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 2 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1\\-1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{bmatrix} & &\rightarrow & &\left\{ \begin{array}{l} {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\lambda }^{2}} \\ \\ \mathbf{v}_{3}=[0,-1,1,0,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{4}=[0,-1,0,1,0,0]^T\\ \mathbf{v}_{5}=[-1,0,0,0,1,0]^T\\ \mathbf{v}_{6}=[-1,0,0,0,0,1]^T\\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(6.3)～(6.5) の6本のベクトを使って以下の様に変換行列 \(Q\) を構成します。
ここで(Fig.1)の(STEP1)の中で現れる行列 \(Q\) が登場します。
\begin{align} Q&=[\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6}] \\ \notag \\ Q&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0\\1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \qquad Q^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0\\-\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\\ \end{align}
この \(Q\) を用いて \(S_3\) の左正則表現をブロック分解してみると(6x6)の行列は、(6.8)の様に(1x1)+(1x1)+(4x4)の小行列に分解されます。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \cdot L_{i} \cdot Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0 \\0&\boxed{ \pm 1 }&0\\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}} \end{pmatrix}\\ \end{align}
(6.9)～(6.11)の実際に(Fig.1)にある変換された行列 \(\breve{L_{i}}\) を載せておきました。ここまでで(Fig.1)のSTEP1の計算が終了したことになります。
\begin{align} \breve{L_{1}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \breve{L_{2}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{3}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & \breve{L_{4}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{5}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & \breve{L_{6}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
しかし、射影演算子の独立ベクトルで構成された変換行列 \(Q\) では、最終的な既約表現 (1x1)+(1x1)+(2x2)+(2x2) という小ブロック行列にまでは分解できておりません。
初めて既約表現の教科書を読んだとき、「私は」、指標表から作成した射影演算子を使えば、既約表現まで分解できるような印象を持っておりましたが、「それは全くの誤解」でした。
それではどうしたら、最終的な既約表現までに分解できるのであろうか？
次節からその計算法を説明してゆきます。計算方法は特別に難しい計算ではなく、 良く知られた線形代数の計算法を使うだけで計算できます。
