【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-1】 \(D_5\) の既約分解の流れ
下図Fig.1は、二面体群 \(D_5\) の正則表現 \(L_i\) を既約表現 \(\widetilde{L_i}\) に分解する計算の流れを数に示します。
(STEP1)
\(L_i\)：\(D_5\) の元の（左）正則表現行列。\([i=1,2,..,10]\)
\(Q_i\)：指標表から計算される射影演算子の固有ベクトルより生成されるブロック分解の為の変換行列。
因みにこの行列 \(Q\) で変換された行列 \(\breve{L_{i}}\) は既約表現ではありません。既約表現の途中段階だと思ってください。
(STEP2)
\(R_{2}\)：(4x4)の小ブロック \(B_i\) を(2x2)+(2x2)の既約表現 \(\widetilde{B_i}\) にまで既約分解する変換行列。
\(R_{3}\)：(4x4)の小ブロック \(D_i\) を(2x2)+(2x2)の既約表現 \(\widetilde{D_i}\) にまで既約分解する変換行列。
(STEP3)
\(T\)：行列 \(Q\) と \(\{R_{2},R_{3}\}\) を合体して正則表現 \(L_i\) を一気に既約表現 \(\widetilde{L_i}\) にまで分解する変換行列。
本章の最終目標はこの正則表現を完全に既約表現に変換する行列 \(T\) を求める計算法を解説する事です。
【3-2】\(D_5\) の元と番号付け
先ずは対称群 \(D_5\) の元それぞれに対応する（左）正則表現を求める為の準備から始めます。表現論では、群の元の順番付けが非常に重要となります。 何故ならば元の番号が変わると対応する元の行列表示が全く異なってしまうからです。【表1】では、一般によく使われている \(D_5\) の元とその番号付けを採用しております。
| \(D_5\) の元 | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{2}\) | \(\sigma_{3}\) | \(\sigma_{4}\) | \(\sigma_{5}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) |
| \(D_5\) の元 | \(\sigma_{6}\) | \(\sigma_{7}\) | \(\sigma_{8}\) | \(\sigma_{9}\) | \(\sigma_{10}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 5 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 3 & 2 & 1 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) |
【3-3】\(D_5\) の積表
二面体群 \(D_5\) の元同士は積の演算が定義されています。例えば(3.1)では \( \sigma_2 \circ \sigma_9\) の積の例を示してあります。 注意する事は、積 \( \sigma_2 \circ \sigma_9\) は、 \( (1,2,3,4,5) \) という数字の順列に対して、右の \((\sigma_9)\) から左 \((\sigma_2)\) に 数字の置換がなされてゆくという順番です。
全ての元同士の積の演算結果を【表2】にまとめておきました。
\begin{align} &e.g. \quad \sigma_2 \circ \sigma_9=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 2&3&4&5&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 4&3&2&1&5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 5&4&3&2&1 \end{pmatrix} =\sigma_{10} \\ \end{align}
| \( i \ \backslash \ j \) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( {\sigma_1}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) |
| \( {\sigma_2}\) | \( {\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) |
| \( {\sigma_3}\) | \( {\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) |
| \( {\sigma_4}\) | \( {\sigma_4}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_3}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) |
| \( {\sigma_5}\) | \( {\sigma_5}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_4}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_2}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_8}\) |
| \( {\sigma_6}\) | \( {\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) |
| \( {\sigma_7}\) | \( {\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) |
| \( {\sigma_8}\) | \( {\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) |
| \( {\sigma_9}\) | \( {\sigma_9}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_{10}}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) | \({\sigma_3}\) |
| \( {\sigma_{10}}\) | \( {\sigma_{10}}\) | \({\sigma_9}\) | \({\sigma_6}\) | \({\sigma_8}\) | \({\sigma_7}\) | \({\sigma_3}\) | \({\sigma_5}\) | \({\sigma_4}\) | \({\sigma_2}\) | \( {\sigma_1}\) |
（注）【表2】には \(\sigma_i \circ \sigma_j=\sigma_1 \) となるセルを黄色で色付けしてあります。これによって、 \(D_5\) の各元の逆元がすぐに判る様になっています。 この後の節で（式(5.1)参照）、射影演算子からブロック分解行列 \(Q\) を求める際、に指標値 \(\ \chi_{\rho}(\sigma_i^{-1})\) を決める必要が あります。その際に \(\sigma_{i}^{-1}\) はどの元になるか？が重要となります。
その時に、この積表を参考にすると、直ぐに逆元と指標の値が判ると思います。
