【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)
【2-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
これから、(Fig.1)のSTEP2の計算に移ります。先ず(Fig.1)のSTEP2の計算の部分を詳細に書いたのが下図の(Fig.2)です。 これからの説明はこの図に従って説明してゆきます。
次に計算する事は(Fig.1)の(STEP2)にある様に抽出された19個の \(\{B_2,B_3,....,B_{20}\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 (7.1)に示すように \(X\) の256個の成分を \(x_{i,j}\) とします。
\(B_1\) は単位行列なので、どのような行列とも交換可能なので考察からは除外して考えます。
\begin{align} X= \begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4} & x_{1,5} & x_{1,6} & x_{1,7} & x_{1,8} & x_{1,9} & x_{1,10} & x_{1,11} & x_{1,12} & x_{1,13} & x_{1,14} & x_{1,15} & x_{1,16}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4} & x_{2,5} & x_{2,6} & x_{2,7} & x_{2,8} & x_{2,9} & x_{2,10} & x_{2,11} & x_{2,12} & x_{2,13} & x_{2,14} & x_{2,15} & x_{2,16}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4} & x_{3,5} & x_{3,6} & x_{3,7} & x_{3,8} & x_{3,9} & x_{3,10} & x_{3,11} & x_{3,12} & x_{3,13} & x_{3,14} & x_{3,15} & x_{3,16}\\ x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4} & x_{4,5} & x_{4,6} & x_{4,7} & x_{4,8} & x_{4,9} & x_{4,10} & x_{4,11} & x_{4,12} & x_{4,13} & x_{4,14} & x_{4,15} & x_{4,16}\\ x_{5,1} & x_{5,2} & x_{5,3} & x_{5,4} & x_{5,5} & x_{5,6} & x_{5,7} & x_{5,8} & x_{5,9} & x_{5,10} & x_{5,11} & x_{5,12} & x_{5,13} & x_{5,14} & x_{5,15} & x_{5,16}\\ x_{6,1} & x_{6,2} & x_{6,3} & x_{6,4} & x_{6,5} & x_{6,6} & x_{6,7} & x_{6,8} & x_{6,9} & x_{6,10} & x_{6,11} & x_{6,12} & x_{6,13} & x_{6,14} & x_{6,15} & x_{6,16}\\ x_{7,1} & x_{7,2} & x_{7,3} & x_{7,4} & x_{7,5} & x_{7,6} & x_{7,7} & x_{7,8} & x_{7,9} & x_{7,10} & x_{7,11} & x_{7,12} & x_{7,13} & x_{7,14} & x_{7,15} & x_{7,16}\\ x_{8,1} & x_{8,2} & x_{8,3} & x_{8,4} & x_{8,5} & x_{8,6} & x_{8,7} & x_{8,8} & x_{8,9} & x_{8,10} & x_{8,11} & x_{8,12} & x_{8,13} & x_{8,14} & x_{8,15} & x_{8,16}\\ x_{9,1} & x_{9,2} & x_{9,3} & x_{9,4} & x_{9,5} & x_{9,6} & x_{9,7} & x_{9,8} & x_{9,9} & x_{9,10} & x_{9,11} & x_{9,12} & x_{9,13} & x_{9,14} & x_{9,15} & x_{9,16}\\ x_{10,1} & x_{10,2} & x_{10,3} & x_{10,4} & x_{10,5} & x_{10,6} & x_{10,7} & x_{10,8} & x_{10,9} & x_{10,10} & x_{10,11} & x_{10,12} & x_{10,13} & x_{10,14} & x_{10,15} & x_{10,16}\\ x_{11,1} & x_{11,2} & x_{11,3} & x_{11,4} & x_{11,5} & x_{11,6} & x_{11,7} & x_{11,8} & x_{11,9} & x_{11,10} & x_{11,11} & x_{11,12} & x_{11,13} & x_{11,14} & x_{11,15} & x_{11,16}\\ x_{12,1} & x_{12,2} & x_{12,3} & x_{12,4} & x_{12,5} & x_{12,6} & x_{12,7} & x_{12,8} & x_{12,9} & x_{12,10} & x_{12,11} & x_{12,12} & x_{12,13} & x_{12,14} & x_{12,15} & x_{12,16}\\ x_{13,1} & x_{13,2} & x_{13,3} & x_{13,4} & x_{13,5} & x_{13,6} & x_{13,7} & x_{13,8} & x_{13,9} & x_{13,10} & x_{13,11} & x_{13,12} & x_{13,13} & x_{13,14} & x_{13,15} & x_{13,16}\\ x_{14,1} & x_{14,2} & x_{14,3} & x_{14,4} & x_{14,5} & x_{14,6} & x_{14,7} & x_{14,8} & x_{14,9} & x_{14,10} & x_{14,11} & x_{14,12} & x_{14,13} & x_{14,14} & x_{14,15} & x_{14,16}\\ x_{15,1} & x_{15,2} & x_{15,3} & x_{15,4} & x_{15,5} & x_{15,6} & x_{15,7} & x_{15,8} & x_{15,9} & x_{15,10} & x_{15,11} & x_{15,12} & x_{15,13} & x_{15,14} & x_{15,15} & x_{15,16}\\ x_{16,1} & x_{16,2} & x_{16,3} & x_{16,4} & x_{16,5} & x_{16,6} & x_{16,7} & x_{16,8} & x_{16,9} & x_{16,10} & x_{16,11} & x_{16,12} & x_{16,13} & x_{16,14} & x_{16,15} & x_{16,16}\end{bmatrix} \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(B_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot B_i-B_i \cdot X=0\) となります。各々の条件式は \(x_{i,j}\) に関する 256本の連立方程式となります。この部分は(Fig.2)の(STEP1)です。
この256本の方程式を、 \(x_{i,j}\) を(7.2)の様に縦ベクトルとした時に、 \(X \cdot B_i-B_i \cdot X=0\) は、(256x256)の行列を使った (Fig2)の(STEP2)の形の行列方程式となります。
\begin{align} [ x_{1,1},x_{1,2}, ... x_{1,16},x_{2,1},x_{2,2},...,x_{2,16}, ... ,x_{16,1},x_{16,2},....,x_{16,16}]^T \\ \end{align}
従って \(B_2\) ～ \(B_{20}\) までの19個の行列方程式を合体すると、(Fig.2)(STEP3)に示すような(4864x256)の行列を使って表現される巨大な連列方程式となります。
この連立方程式をガウス消去法で行簡約階段形にまで変形すると、(Fig2)(STEP4)に示すように(240x256)の行列で表現される連立方程式を得る事が出来ます。
この方程式は未知数が256で、方程式の数は240本なので、16個のパラメーターを決めれば解が決定されます。
変数 \([x_{16,1},x_{16,2}, ... ,x_{16,15},x_{16,16}]\) が(7.3)の様に16通りの独立解として決定されれば、他の240個の変数の値は決定します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &(1) \quad [x_{16,1},x_{16,2},...,x_{16,15},x_{16,16}]=[1,0, ... ,0,0] \\ &(2) \quad [x_{16,1},x_{16,2},...,x_{16,15},x_{16,16}]=[0,1, ... ,0,0] \\ \\ &\qquad \qquad ......... \\ \\ &(15) \quad [x_{16,1},x_{16,2},...,x_{16,15},x_{16,16}]=[0,0, ... ,1,0] \\ &(16) \quad [x_{16,1},x_{16,2},...,x_{16,15},x_{16,16}]=[0,0, ... ,0,1] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上記(1)～(16)の解に対応した解の行列 \(\{X_1,..,X_{16}\}\) の中から幾つか具体例(7.4)～(7.7)で示します。ここの説明は(Fig.2)の(STEP4)の右下の交換可能な16つの 行列が生成された部分です。但し \(X_{16}\) は単位行列なので除外します。
\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_{14}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_{15}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
