【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-11】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
同じような計算が続きますが我慢してください。(Fig.1)のSTEP2の第3行目の小ブロック行列 \(F_i\) の計算に移ります。 この計算の部分を詳細に書いたのが下図の(Fig.4)です。これからの説明はこの図に従って説明してゆきます。
(6.9)で計算された \( \breve{L_{i}}\) の小ブロックの中で(9x9)の小ブロック \(F_i\) を抽出します。実際の行列の例として いくつか例示しておきます。\(F_1\)は単位行列なので省略します。この節の計算は(Fig.1)の中の行列 \(F_i\) が出てきた部分に対応します。
\begin{align} F_2&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} & F_3&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ F_{11}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & F_{12}&= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ F_{23}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & F_{24}&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に単位行列 \(F_1\) を除いた23個の行列 \(\{F_2,...,F_{23}\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 \(X\) の81個の成分を \(x_{i,j}\) とします。
\begin{align} X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4} & x_{1,5} & x_{1,6} & x_{1,7} & x_{1,8} & x_{1,9}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4} & x_{2,5} & x_{2,6} & x_{2,7} & x_{2,8} & x_{2,9}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4} & x_{3,5} & x_{3,6} & x_{3,7} & x_{3,8} & x_{3,9}\\ x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4} & x_{4,5} & x_{4,6} & x_{4,7} & x_{4,8} & x_{4,9}\\ x_{5,1} & x_{5,2} & x_{5,3} & x_{5,4} & x_{5,5} & x_{5,6} & x_{5,7} & x_{5,8} & x_{5,9}\\ x_{6,1} & x_{6,2} & x_{6,3} & x_{6,4} & x_{6,5} & x_{6,6} & x_{6,7} & x_{6,8} & x_{6,9}\\ x_{7,1} & x_{7,2} & x_{7,3} & x_{7,4} & x_{7,5} & x_{7,6} & x_{7,7} & x_{7,8} & x_{7,9}\\ x_{8,1} & x_{8,2} & x_{8,3} & x_{8,4} & x_{8,5} & x_{8,6} & x_{8,7} & x_{8,8} & x_{8,9}\\ x_{9,1} & x_{9,2} & x_{9,3} & x_{9,4} & x_{9,5} & x_{9,6} & x_{9,7} & x_{9,8} & x_{9,9}\end{bmatrix} \\ \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(F_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot F_i-F_i \cdot X=0\) となります。 \(F_2\) の例を式(11.5)に示します。(11.5)は \(x_{i,j}\) に関して、81本の方程式を提供します。ここの説明は(Fig.4)の(STEP1)です。
\begin{align} &X \cdot F_2-F_2 \cdot X \notag \\ \notag \\ &=\begin{bmatrix}-x_{5,1}-x_{1,7}+x_{1,5}-x_{1,3} & -x_{5,2}-x_{1,7}+x_{1,4} & ... & -x_{5,9}-x_{1,9}\\ -x_{4,1}-x_{2,7}+x_{2,5}-x_{2,3} & -x_{4,2}-x_{2,7}+x_{2,4} & ... & -x_{4,9}-x_{2,9}\\ x_{5,1}-x_{3,7}+x_{3,5}-x_{3,3}+x_{3,1}+x_{1,1} & x_{5,2}-x_{3,7}+x_{3,4}+x_{3,2}+x_{1,2} & ... & x_{5,9}+x_{1,9}\\ -x_{4,7}+x_{4,5}-x_{4,3}-x_{2,1} & -x_{4,7}+x_{4,4}-x_{2,2} & ... & -x_{4,9}-x_{2,9}\\ -x_{5,7}+x_{5,5}-x_{5,3}-x_{1,1} & -x_{5,7}+x_{5,4}-x_{1,2} & ... & -x_{5,9}-x_{1,9}\\ -x_{8,1}-x_{6,7}+x_{6,5}-x_{6,3} & -x_{8,2}-x_{6,7}+x_{6,4} & ... & -x_{8,9}-x_{6,9}\\ -x_{7,7}+x_{7,5}-x_{7,3}+x_{7,1}+x_{5,1}+x_{4,1}+x_{2,1}+x_{1,1} & -x_{7,7}+x_{7,4}+x_{7,2}+x_{5,2}+x_{4,2}+x_{2,2}+x_{1,2} & ... & x_{5,9}+x_{4,9}+x_{2,9}+x_{1,9}\\ -x_{8,7}+x_{8,5}-x_{8,3}-x_{6,1} & -x_{8,7}+x_{8,4}-x_{6,2} & ... & -x_{8,9}-x_{6,9}\\ -x_{9,7}+x_{9,5}-x_{9,3}+x_{9,1}+x_{8,1}+x_{6,1} & -x_{9,7}+x_{9,4}+x_{9,2}+x_{8,2}+x_{6,2} & ... & x_{8,9}+x_{6,9}\end{bmatrix} =0 \\ \end{align}
(11.5)の81本の方程式を(Fg.4)の(STEP1)の形の行列を使った方程式の形に変形した式は(81x81)と言う大型な 行列を使うのでこのページには収まり切れません。ましてや(Fig.4)(STEP3)の(1863x81)の行列の方程式や、(STEP4)の ガウス消去法で行簡約階段形にまで変形された行列の方程式も記述することはできません。
従って、(Fig.4)の(STEP4)の解である全ての \(F_i\) と交換可能な行列 \(X_i\) はどうにか下記の様に記述できました。 但し、最後の \(X_{9}\) は単位行列なので省略します。
\begin{align} X_1&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_2&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_3&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_4&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_{5}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\-1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_{7}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{8}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\-1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
