線形代数による群の正則表現の既約分解法

【第0章】サイトの説明

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群の正則表現を既約表現に分解する方法を説明したサイトを3つ作成しました。

　　　(site1)　ヤング図形による群の正則表現の既約分解法
　　　 (site2)　線形代数による群の正則表現の既約分解法
　　　 (site3)　グレブナー基底による群の正則表現の既約分解法

上記３つのサイトは、「群の表現論」の「定理や証明」を解説する内容ではありません。
ただ単純に「自力で群の既約分解が出来るようになりたい」と思っている人のためのサイトです。

本サイト(site2)の目的は、群の表現論の難しい議論は知らなくとも、線形代数の「Gauss-Jordanの消去法、固有値、固有ベクトルの計算法」を使って、群の正則表現を既約表現に分解できる方法を知ってもらう事です。
計算過程や結果は出来る限り紙面に載せるようにしました。ご自身で計算した結果と突き合せる際にご利用下さい。

この計算方法は「愚直な計算の連続、超ダサイ計算法」ですが、適用範囲は広いと思います。知らんけど...（笑）

このサイトの使い方は以下の通りです。
・【1-2】などの節を示す箇所をクリックしていただければそのページに移動出来ます。
・各ページの右上と文章の最後には　[ ⇦　home　⇨ ]　があり、[ 前page、目次 page ,　次page ]　に移動出来ます。

【第1章】対称群 \(S_3\)

【1-1】\(S_3\) の既約分解の流れ
【1-2】\(S_3\) の元と番号付け
【1-3】\(S_3\) の積表
【1-4】\(S_3\) の自然表現
【1-5】\(S_3\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
【1-6】\(S_3\) の指標表と射影演算子とブロック分解行列 \(Q\)
【1-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\)
【1-8】小行列 \(B_i\) の分解行列 \(R\)
【1-9】既約分解行列 \(T\)
【1-10】\(S_3\)の既約表現のまとめ

【第2章】対称群 \(S_4\)

【2-1】\(S_4\) の既約分解の流れ
【2-2】\(S_4\) の元と番号付け
【2-3】\(S_4\) の積表
【2-4】\(S_4\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
【2-5】\(S_4\) の指標表と射影演算子
【2-6】\(S_4\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
【2-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【2-8】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【2-9】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【2-10】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【2-11】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【2-12】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【2-13】既約分解行列 \(T\)
【2-14】 \(S_4\) の既約表現のまとめ

【第3章】二面体群 \(D_5\)

【3-1】\(D_5\) の既約分解の流れ
【3-2】\(D_5\) の元と番号付
【3-3】\(D_5\) の積表
【3-4】\(D_5\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
【3-5】\(D_5\) の指標表と射影演算子
【3-6】\(D_5\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
【3-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【3-8】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【3-9】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【3-10】小行列 \(F_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【3-11】既約分解行列 \(T\)
【3-12】\(D_5\) の既約表現のまとめ

【第4章】フロベニウス群 \(F_{20}\)

【4-1】 \(F_{20}\) の既約分解の流れ
【4-2】\(F_{20}\) の元と番号付け
【4-3】\(F_{20}\) の積表
【4-4】\(F_{20}\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
【4-5】\(F_{20}\) の指標表と射影演算子
【4-6】\(F_{20}\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
【4-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
【4-8】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
【4-9】既約分解行列 \(T\)
【4-10】 \(F_{20}\) の既約表現のまとめ

【おしらせ】

分野は全く異なりますが、ガロア理論を使った方程式の解法に関する計算技法のサイトも作成しております。
もしご興味があれば立ち寄ってみてください。

https://calgal.info 「数学VB　ガロア流方程式の解法　/ Techniques of Solving Equation a la Galois」

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1st upload: 2026/06/03

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