【第1章】対称群 \(S_3\)
【1-1】 \(S_3\) の既約分解の流れ
下図Fig.1は、対称群 \(S_3\) の正則表現 \(L_i\) を既約表現 \(\widetilde{L_i}\) に分解する計算の流れを数に示します。
(STEP1)
\(L_i\)：\(S_3\) の元の（左）正則表現行列。\([i=1,2,..,6]\)
\(Q_i\)：指標表から計算される射影演算子の固有ベクトルより生成されるブロック分解の為の変換行列。
因みにこの行列 \(Q\) で変換された行列 \(\breve{L_{i}}\) は既約表現ではありません。既約表現の途中段階だと思ってください。
(STEP2)
\(R\)：正則表現がブロック分解された(4x4)の行列 \(B_i\) すべてと可換な行列の固有ベクトルから 生成される変換行列。
この行列 \(R\) により(4x4)小ブロックは(2x2)+(2x2)の既約表現 \(\widetilde{B_i}\) にまで分解されます。
(STEP3)
\(T\)：行列 \(Q\) と \(R\) を合体して正則表現 \(L_i\) を一気に既約表現 \(\widetilde{L_i}\) にまで分解する変換行列。
本章の最終目標はこの正則表現を完全に既約表現に変換する行列 \(T\) を求める計算法を解説する事です。
【1-2】\(S_3\) の元と番号付け
先ずは対称群 \(S_3\) の元それぞれに対応する（左）正則表現を求める為の準備から始めます。表現論では、群の元の順番付けが非常に重要となります。 何故ならば元の番号が変わると対応する元の行列表示が全く異なってしまうからです。【表1】では、一般によく使われている \(S_3\) の元とその番号付けを採用しております。
| \(S_3\)の元 | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 置換2行表示 | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{pmatrix} \) |
| 巡回置換 | \(e\) | \((12)\) | \((13)\) | \((23)\) | \((123)\) | \((132)\) |
【1-3】\(S_3\) の積表
対称群 \(S_3\) の元同士は積の演算が定義されています。例えば(3.1)では \( \sigma_2 \circ \sigma_5\) の積の例を示してあります。 注意する事は、積 \( \sigma_2 \circ \sigma_5\) は、 \( (1,2,3) \) という数字の順列に対して、右の \((\sigma_5)\) から左 \((\sigma_2)\) に 数字の置換がなされてゆくという順番です。(3.1)に例を示しておきます。
全ての元同士の積の演算結果を【表2】にまとめておきました。
\begin{align} &[e.g.] \qquad \sigma_2 \circ \sigma_5=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{pmatrix} =\sigma_4 \\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_6\) |
| \(\sigma_2\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) |
| \(\sigma_3\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_4\) |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_2\) |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_1\) |
| \(\sigma_6\) | \(\sigma_6\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_5\) |
（注）【表2】には \(\sigma_i \circ \sigma_j=\sigma_1 \) となるセルを黄色で色付けしてあります。これによって、 \(S_3\) の各元の逆元がすぐに判る様になっています。 この後の節で（式(6.1)参照）、射影演算子からブロック分解行列 \(Q\) を求める際に \(\sigma_{i}^{-1}\) はどの元になるか？そしてその指標は何か？が重要となります。
その時に、この積表を参考にすると、直ぐに逆元と指標の値が判ると思います。
【1-4】\(S_3\) の自然表現
この節は「行列単位」の導入と、教科書によく出てくる「自然表現」の導出を目的で挿入した節です。更に【表１】の「置換２行表現」と次節の「置換表現」と は異なるものだと言う事の注意喚起の意味も含めております。【表1】の2行目には \(S_3\) の各元の置換作用を示す「置換2行表示」（と呼ばれる）が示されております。
この「置換2行表示」を使って「自然表現」 \(\rho_{n}\) を定義します。その際「置換2行表示」から「自然表現」を導き出す導出方法を説明するために、 「行列単位」 \(E_{ij}\) というものを導入します。
\(E_{ij}\) は、式(4.1)に示すように i行j列のみ１でほかは全て0という行列です。
\begin{align} E_{ij}=&\begin{bmatrix} 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&1&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ 0&0&...&0&....&0\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \ i \\ \\ \end{matrix} \\ &\qquad \qquad \qquad j \notag \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{2}&= \begin{pmatrix}1&2&3\\ \sigma_2(1)&\sigma_2(2)&\sigma_2(3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix}\\ \end{align}
この 「置換2行表示」と行列単位 \(E_{ij}\) を使って、\(\sigma_2\) の「自然表現」 \(\rho_{n}(\sigma_2)\) を 式(4.4)で定義します。
\begin{align} \sigma_{2}&=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix} \\ &\Downarrow \notag \\ \rho_{n}(\sigma_2)&=E_{\sigma_2(1)1}+E_{\sigma_2(2)2}+E_{\sigma_2(3)3} \\ \notag \\ &=E_{21}+E_{12}+E_{33} \qquad ( \ \because \quad \sigma_2(1)=2, \quad \sigma_2(2)=1, \quad \sigma_2(3)=3 \ )\notag \\ \notag \\ &=\begin{bmatrix}0&0&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&1&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \\ \end{align}
\begin{align} &\rho_{n}(\sigma_1)=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} & &\rho_{n}(\sigma_2)=\begin{bmatrix}0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} & &\rho_{n}(\sigma_3)=\begin{bmatrix}0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\rho_{n}(\sigma_4)=\begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} & &\rho_{n}(\sigma_5)=\begin{bmatrix}0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix} & &\rho_{n}(\sigma_6)=\begin{bmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix} \\ \end{align}
