【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-4】\(S_4\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
この節では、群の表現では最も重要な「正則表現」と言う行列を定義します。【表2】の積表を利用して以下の式(4.1)で「置換表現」 \(\rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i \ [i=1,2,..,24]\) を定義します。
\begin{align} &\boldsymbol{1} \equiv \sigma_{1} \quad \boldsymbol{2} \equiv \sigma_{2} \quad \boldsymbol{3} \equiv \sigma_{3} \quad ...... \quad \boldsymbol{22} \equiv \sigma_{22} \quad \boldsymbol{23} \equiv \sigma_{23} \quad \boldsymbol{24} \equiv \sigma_{24} \\ \end{align}
実はこの表示は【表2】を利用すれば簡単に求められます。即ち \(\{\tau_i\}\) の第2行目は【表2】の積表の第i行目を並べているだけです。 【表1】 の「置換2行表示」と(4.3)の「置換表現」は似ていますが区別してください。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_{per}(\sigma_1)=\tau_1= \pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{23} & \sigma_{24}\\ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{23} & \sigma_{24}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{23}&\boldsymbol{24} \\ \boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{23}&\boldsymbol{24}\\} \\ \\ \rho_{per}(\sigma_2)= \tau_2=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{23} & \sigma_{24}\\ \sigma_2&\sigma_1&\ ... &\sigma_{21}&\sigma_{19}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{23}&\boldsymbol{24} \\ \boldsymbol{2}&\boldsymbol{1}& ... &\boldsymbol{21}&\boldsymbol{19}\\ } \\ \\ \qquad .......\\ \\ \rho_{per}(\sigma_{23})= \tau_{23}=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{23} & \sigma_{24}\\ \sigma_{23}&\sigma_{19}& ... &\sigma_1&\sigma_{22}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{23}&\boldsymbol{24} \\ \boldsymbol{23}&\boldsymbol{19}& ... &\boldsymbol{1}&\boldsymbol{22}\\} \\ \\ \rho_{per}(\sigma_{24})= \tau_{24}=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{23} & \sigma_{24}\\ \sigma_{24}&\sigma_{21}& ... &\sigma_{22}&\sigma_{1}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{23}&\boldsymbol{24} \\ \boldsymbol{24}&\boldsymbol{21}& ... &\boldsymbol{22}&\boldsymbol{1}\\} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
この置換表現 \(\{\tau_i\}\) を使って、\(\{\tau_i\}\) 同士の積表作成すると【表2】の積表の \(\sigma\) が \(\tau\) に変わっただけで、全く同一の積表となります。
(4.3)の置換表現を使うと、\(\{\tau_i\}\) は太文字の数値によって置換が表現されます。その数値表現を使えば、(4.4)に示すように 行列単位 \(E_{ij}\) を使用して \(\{\tau_i\}\) の自然表現 \( \rho_{n}(\tau_2)\) を求める事が出来ます。 又この自然表現の行列は \(S_4\) の「左正則表現」 と呼ばれています。それから今後、左正則表現を \(L_i\) と記すことにします。
この段階で(Fig.1)の(STEP1)の \(L_i\) が計算出来ました。
\begin{align} \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma_2)&\equiv \rho_{n}(\tau_2)=\displaystyle \sum_{k=1}^{24}E_{\tau_2(k),k} \\ &=E_{\tau_2(1),1}+E_{\tau_2(2),2}+....+E_{\tau_2(23),{23}}+E_{\tau_2(24),{24}} \notag \\ \notag \\ &\Downarrow \quad \because \ \tau_2(1)=2, \ \tau_2(2)=1, ...., \tau_2(23)=21, \ \tau_2(24)=19 \notag \\ \notag \\ &=E_{2,1}+E_{1,2}+....+E_{{21},{23}}+E_{{19},{24}}\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag\\ &\therefore \quad \rho_{n}(\tau_2)=L_2 =\begin{bmatrix}0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(S_4\) の「左正則表現」 \(L_i\) は(24x24)の大きな行列なので、全てを記載することは 意味がないと思うので、あと \(L_{12},L_{24}\) を下に示しておきます。
\begin{align} &\rho_{n}(\tau_{12}):=L_{12} =\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0\\ \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\rho_{n}(\tau_{24}):=L_{24}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0\\ \bbox[#FFFF00]{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
まとめると、対称群の元 \(\sigma\)の左正則表現 \(\rho_{reg}(\sigma)\) は [正則表現]＝[自然表現] \(\circ\) [置換表現] と(4.9)の様に定式化 出来る事が判ります。
ここで再度注意しておきますが、「自然表現」の演算は【表1】の「置換2行表現」や(4.3)のような「置換表現」に対して 行列単位を対応させる演算です。「自然表現」はあくまでも「置換2行表示」的な 数値の対応関係を行列単位を使って行列に対応させる演算子です。
\begin{align} \rho_{reg}(\sigma) \equiv \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma) \\ \end{align}
