【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-8】小行列 \(B_i\) と可換な能な行列 \(X\) (2)
前節で計算された全ての小ブロック \(B_i\) と交換可能な行列 \(X_i\) を再掲します。\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_3=\begin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &X_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{X_1,..,X_4\}\) に対応する固有方程式を(8.3)に示します。この中で \((\lambda-1)^2\) の因子を持つ \(\{X_2,X_3\}\) の固有ベクトルを \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\}\) とします。 この4つのベクトルを縦に並べて \(R_2\) とします。(8.4)
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_1:(\lambda^2+\lambda+1)^2=0 \\ X_2:(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{1}=[1,0,1,0]^T, \quad \mathbf{v}_{2}=[0,1,0,1]^T \\ X_3 :(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0\quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{3}=[-1,1,0,0]^T , \quad \mathbf{v}_{4}=[-1,0,1,1]^T \\ X_4:(\lambda-1)^4=0 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &R_2=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}]= \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad R_2^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{R_2,R_2^{-1}\}\) を使って、(8.5)の様に\(\widetilde{B_i}\) を計算すると、(8.6)(8.7)に示すように(4x4)の行列は(2x2)+(2x2)の小ブロックに分解される事が判ります。 これら(2x2)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。この計算は(Fig.1)の(STEP2)の第1行目の部分に相当しております。
\begin{align} & \widetilde{B_i}=R_2^{-1} \times B_i \times R_2 & & & & \\ \notag \\ &\widetilde{B_1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_2}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_4}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{B_8}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{B_9}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
【2-9】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
これから、(Fig.1)のSTEP2の第2行目の(9x9)の小ブロック行列 \(D_i\) と交換可能な行列の計算に移ります。この計算の部分を詳細に書いたのが下図の(Fig.3)です。 これからの説明はこの図に従って説明してゆきます。
(6.9)で計算された \( \breve{L_{i}}\) の小ブロックの中で(9x9)の小ブロック \(D_i\) を抽出します。実際の行列の例として いくつか例示しておきます。\(D_1\)は単位行列なので省略します。この部分の計算は(Fig.1)の中の行列 \(D_i\) が出てきた部分です。
\begin{align} D_2&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} & D_3&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ D_{11}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & D_{12}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ D_{23}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & D_{24}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に \(D_1\) を除いた23個の行列 \(\{D_2,...,D_{23}\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 \(X\) の81個の成分を \(x_{i,j}\) とします。
\begin{align} X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4} & x_{1,5} & x_{1,6} & x_{1,7} & x_{1,8} & x_{1,9}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4} & x_{2,5} & x_{2,6} & x_{2,7} & x_{2,8} & x_{2,9}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4} & x_{3,5} & x_{3,6} & x_{3,7} & x_{3,8} & x_{3,9}\\ x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4} & x_{4,5} & x_{4,6} & x_{4,7} & x_{4,8} & x_{4,9}\\ x_{5,1} & x_{5,2} & x_{5,3} & x_{5,4} & x_{5,5} & x_{5,6} & x_{5,7} & x_{5,8} & x_{5,9}\\ x_{6,1} & x_{6,2} & x_{6,3} & x_{6,4} & x_{6,5} & x_{6,6} & x_{6,7} & x_{6,8} & x_{6,9}\\ x_{7,1} & x_{7,2} & x_{7,3} & x_{7,4} & x_{7,5} & x_{7,6} & x_{7,7} & x_{7,8} & x_{7,9}\\ x_{8,1} & x_{8,2} & x_{8,3} & x_{8,4} & x_{8,5} & x_{8,6} & x_{8,7} & x_{8,8} & x_{8,9}\\ x_{9,1} & x_{9,2} & x_{9,3} & x_{9,4} & x_{9,5} & x_{9,6} & x_{9,7} & x_{9,8} & x_{9,9}\end{bmatrix} \\ \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(D_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot D_i-D_i \cdot X=0\) となります。 \(D_2\) の例を式(9.5)に示します。(9.5)は \(x_{i,j}\) に関して、81本の方程式を提供します。ここの説明は(Fig.3)の(STEP1)です。
\begin{align} &X \cdot D_2-D_2 \cdot X \notag \\ \notag \\ &= \begin{bmatrix}-x_{5,1}+x_{1,7}+x_{1,5}+x_{1,3} & -x_{5,2}+x_{1,7}+x_{1,4} & ... & x_{1,9}-x_{5,9}\\ -x_{4,1}+x_{2,7}+x_{2,5}+x_{2,3} & -x_{4,2}+x_{2,7}+x_{2,4} & ... & x_{2,9}-x_{4,9}\\ x_{5,1}+x_{3,7}+x_{3,5}+x_{3,3}-x_{3,1}-x_{1,1} & x_{5,2}+x_{3,7}+x_{3,4}-x_{3,2}-x_{1,2} & ... & x_{5,9}-x_{1,9}\\ x_{4,7}+x_{4,5}+x_{4,3}-x_{2,1} & x_{4,7}+x_{4,4}-x_{2,2} & ... & x_{4,9}-x_{2,9}\\ x_{5,7}+x_{5,5}+x_{5,3}-x_{1,1} & x_{5,7}+x_{5,4}-x_{1,2} & ... & x_{5,9}-x_{1,9}\\ -x_{8,1}+x_{6,7}+x_{6,5}+x_{6,3} & -x_{8,2}+x_{6,7}+x_{6,4} & ... & x_{6,9}-x_{8,9}\\ x_{7,7}+x_{7,5}+x_{7,3}-x_{7,1}+x_{5,1}+x_{4,1}-x_{2,1}-x_{1,1} & x_{7,7}+x_{7,4}-x_{7,2}+x_{5,2}+x_{4,2}-x_{2,2}-x_{1,2} & ... & x_{5,9}+x_{4,9}-x_{2,9}-x_{1,9}\\ x_{8,7}+x_{8,5}+x_{8,3}-x_{6,1} & x_{8,7}+x_{8,4}-x_{6,2} & ... & x_{8,9}-x_{6,9}\\ x_{9,7}+x_{9,5}+x_{9,3}-x_{9,1}-x_{8,1}+x_{6,1} & x_{9,7}+x_{9,4}-x_{9,2}-x_{8,2}+x_{6,2} & ... & x_{6,9}-x_{8,9}\end{bmatrix} =0 \\ \end{align}
