線形代数による群の正則表現の既約分解法: qr308

【第3章】二面体群 \(D_5\)

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【3-11】既約分解行列 \(T\)

最終的な既約分解行列 \(T\) を求める計算は(Fig.1)の(STEP3)の部ですが、この部分を下図(Fig.4)で更に詳細に説明します。まず、ブロック分解行列 \(Q\) を以下の3つの行列 \(Q_1,Q_2,Q_3\) に分けます。

\(Q_1\) は \(Q\) の第1列と第2列を抜き出した(10x2)の行列で、\(Q_2\) は \(Q\) の第3列から第6列を抜き出した(10x4)の行列で定義されます。 \(Q_3\) は \(Q\) の第7列から第10列を抜き出した(10x4)の行列で定義されます。
次に上記(Fig.4)の中段の図にある様に \(\{S_2,S_3\}\) を計算します(11.1)(11.2)。

\begin{align} S_2:=Q_2 \times R_2= \begin{bmatrix}-cs_1 & -cs_1 & 0 & 0\\cs_1 & -1 & 0 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_1\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1\\ 0 & 0 & cs_1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}cs_1 & -1 & -cs_1 & -cs_1\\1 & 0 & cs_1 & -1\\-cs_1 & -cs_1 & -1 & cs_1\\0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 1\\ -1 & cs_1 & -1 & cs_1\\-cs_1 & -cs_1 & -cs_1 & -cs_1\\cs_1 & -1 & cs_1 & -1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ S_3:=Q_2 \times R_3= \begin{bmatrix}-cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\cs_2 & -1 & 0 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cs_2 & -1 & -cs_2 & -cs_2\\1 & 0 & cs_2 & -1\\-cs_2 & -cs_2 & -1 & cs_2\\0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_2 & 0 & 1\\ -1 & cs_2 & -1 & cs_2\\-cs_2 & -cs_2 & -cs_2 & -cs_2\\cs_2 & -1 & cs_2 & -1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}

そして、\(Q_1\) と \(\{S_2,S_3\}\) とを(11.3)の左辺の様に合体します。するとこの行列 \(T\) は、正則表現 \(L_i\) を既約表現まで分解する分解行列となります。

\begin{align} T:=[Q_1,S_2,S_3]&=\begin{bmatrix}1 & -1 & cs_1 & -1 & -cs_1 & -cs_1 & cs_2 & -1 & -cs_2 & -cs_2\\ 1 & -1 & 1 & 0 & cs_1 & -1 & 1 & 0 & cs_2 & -1\\ 1 & -1 & -cs_1 & -cs_1 & -1 & cs_1 & -cs_2 & -cs_2 & -1 & cs_2\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & -1 & cs_1 & 0 & 1 & -1 & cs_2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1 & cs_1 & -1 & cs_1 & -1 & cs_2 & -1 & cs_2\\ 1 & 1 & -cs_1 & -cs_1 & -cs_1 & -cs_1 & -cs_2 & -cs_2 & -cs_2 & -cs_2\\ 1 & 1 & cs_1 & -1 & cs_1 & -1 & cs_2 & -1 & cs_2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ T^{-1}&=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -cs_2 & 1 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & cs_2 & -1 & 1 & -cs_2\\ 0 & -cs_2 & cs_2 & 1 & -1 & -cs_2 & 0 & cs_2 & -1 & 1\\ cs_2 & -1 & 0 & 1 & -cs_2 & cs_2 & 0 & -cs_2 & 1 & -1\\ 0 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 1 & -1 & cs_2 & 0 & -cs_2 & 1\\ -cs_1 & 1 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & cs_1 & -1 & 1 & -cs_1\\ 0 & -cs_1 & cs_1 & 1 & -1 & -cs_1 & 0 & cs_1 & -1 & 1\\ cs_1 & -1 & 0 & 1 & -cs_1 & cs_1 & 0 & -cs_1 & 1 & -1\\ 0 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 1 & -1 & cs_1 & 0 & -cs_1 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}

次に、この \(\{T,T^{-1}\}\) を使って、(11.5)の様に\(\widetilde{L_i}\) を計算すると、(10x10)の正則表現行列は(1x1)+(1x1)+(2x2)+(2x2)の小行列に分解される事が判ります。 (11.6)～(9.7)に実際に正則表現を既約表現までに分解した行列を示しておきます。

\begin{align} & \widetilde{L_i}=T^{-1} \times L_i \times T\\ \end{align}

\begin{align} \notag \\ &\widetilde{L_{1}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{L_{2}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_{3}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{L_{4}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_{5}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{L_{6}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_{7}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &\widetilde{L_{8}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{L_{9}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & cs_2\end{bmatrix} & &\widetilde{L_{10}}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} \\ \end{align}

以上で最終目標の既約分解行列 \(T\) と既約表現 \(\widetilde{L_i}\) を求める事が出来ました。

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