【第2章】対称群 \(S_3\)
【2-6】\(S_4\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
前節では射影演算子の具体的な行列を求めました。各射影演算子 \(\{P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\}\) の行列の固有方程式を 計算すると(6.1)～(6.5)となり、固有値は、\(\{0,1\}\) となる事が判ります。そこで、これらの行列の固有値 \(1\) に関する固有ベクトル \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},....,\mathbf{v}_{23},\mathbf{v}_{24}\}\) を求め、 それらを(6.6)の様に合体すると、 \(S_4\)の正則表現をブロック分解する行列 \(Q\) を求める事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} P_1 \quad ( \lambda -1) \lambda^{23}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{1}=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_2 \quad ( \lambda -1) \lambda^{23} =0\\ \\ \mathbf{v}_{2}=[1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_3 \quad ( \lambda -1)^{4} \lambda^{20}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{3}= [0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{4}= [0,0,-1,1,0,1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,-1,0,1,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{5}= [0,1,-1,0,1,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,1,0,1,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{6}= [1,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,0,0,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_4 \quad ( \lambda -1)^{9} \lambda^{15}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{7}= [0,-1,0,-1,1,1,0,-1,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{8}= [0,-1,-1,0,1,0,1,-1,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{9}= [0,0,-1,-1,0,1,1,-1,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{10}= [0,1,0,0,-1,0,0,1,0,-1,-1,0,1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{11}= [0,1,1,1,-1,-1,-1,1,2,-1,-1,0,-1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{12}= [0,0,1,0,0,0,-1,1,0,1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{13}= [-1,-1,-1,-1,1,0,0,-1,-1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{14}= [-1,-1,-1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0]^T \\ \mathbf{v}_{15}= [-1,-1,-1,-1,0,0,1,-1,-1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_5 \quad ( \lambda -1)^{9} \lambda^{15}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{16}= [0,1,0,1,-1,-1,0,-1,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{17}= [0,1,1,0,-1,0,-1,-1,-1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{18}= [0,0,1,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{19}= [0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,1,1,0,-1,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{20}= [0,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-2,1,1,0,1,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{21}= [0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,1,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{22}= [-1,1,1,1,-1,0,0,-1,-1,1,1,0,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0,1,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{23}= [-1,1,1,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,-1,0,-1,0,0,0,1,0]^T \\ \mathbf{v}_{24}= [-1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,0,0,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(6.1)～(6.5) の24本のベクトを使って以下の様に変換行列 \(Q\) を構成します。
\begin{align} Q&\equiv [\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6},\mathbf{v_{7}},\mathbf{v_{8}}, ..., \mathbf{v_{17}},\mathbf{v_{18}},\mathbf{v_{19}},\mathbf{v_{20}},\mathbf{v_{21}},\mathbf{v_{22}},\mathbf{v_{23}},\mathbf{v_{24}}] \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ Q&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ Q^{-1}&=\frac{1}{24} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -2 & -2 & 4 & 4 & -2 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2\\ 0 & -2 & -2 & 4 & -2 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -2 & -2 & -2 & 4 & -2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -2 & -2 & 4 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2 & 4 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4\\ 0 & -3 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -3 & 3 & 3 & -3 & 3 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & -3 & -3 & 3 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & 9 & -3 & 3 & -3 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & 0 & -3 & 9 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & -3\\ -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & -3 & 3 & -3 & -3 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 9 & 0 & 3 & -3 & 3\\ -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 3 & -3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 9 & -3 & 3 & 3\\ -3 & 3 & -3 & -3 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 9 & -3 & -3\\ -3 & -3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 9 & -3\\ -3 & -3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & -3 & 9\\ 0 & 3 & -3 & 3 & -3 & -3 & 3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 3 & -3 & -3 & 3 & -3 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 9 & 0 & 3 & 3 & -3 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 0 & 0 & -3 & -3 & 0 & 0 & 9 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & 0 & -3 & 9 & 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & 3\\ 3 & 0 & 0 & -3 & 0 & -3 & 0 & 3 & -3 & 3 & 3 & -3 & 3 & -3 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 9 & 0 & -3 & 3 & -3\\ 3 & -3 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & -3 & 3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & -3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 9 & 3 & -3 & -3\\ -3 & -3 & 3 & 3 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & 3 & -3 & 3 & 9 & -3 & -3\\ -3 & 3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & -3 & -3 & 3 & -3 & -3 & 9 & -3\\ -3 & 3 & -3 & 3 & 3 & 3 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & 3 & -3 & -3 & -3 & -3 & -3 & 9\end{bmatrix} \\ \end{align}
この \(\{Q,Q^{-1}\}\) を用いて \(S_4\) の左正則表現 \(L_i\) をブロック分解してみると(24x24)の行列は、(6.9)の様に小行列に分解されます。 行列の大きさが大きいので、一つだけ \(\breve{L_{2}}\) を例示しておきます。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \cdot L_{i} \cdot Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0&0\\ 0 & \boxed{ \pm 1 }& 0 & 0 & 0 \\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{matrix}} & 0 & 0 \\ 0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \end{matrix}} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \\ *&*&*&*&*&*&*&*&* \end{matrix}} \\ \end{pmatrix} \\ \notag \\ \notag \\ \breve{L_{2}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \\ \end{align}
以上の計算で、(Fig.1)の(STEP1)のブロック分解行列 \(Q\) と分解された正則表現\( \breve{L_{i}}\) を求める事が出来ました。
