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【1-5】\(S_3\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)
前節の考え方を使って、自然表現と似ていますが、群の表現では最も重要な正則表現と言う行列を定義します。
【表2】の積表を利用して以下の式(5.1)で
「置換表現」 \(\rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i \ [i=1,2,..,6]\) を定義します。
\begin{align}
\rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i= \pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\
\sigma_i \circ \sigma_1& \sigma_i \circ \sigma_2& \sigma_i \circ \sigma_3& \sigma_i \circ \sigma_4& \sigma_i \circ \sigma_5& \sigma_i \circ \sigma_6}\\
\end{align}
更に式(5.2)の様に \(\sigma_i\) を太文字の数字 \(\boldsymbol{i}\) を使って表示することにします。
\begin{align}
\boldsymbol{1} &\equiv \sigma_{1} & \boldsymbol{2} &\equiv \sigma_{2} & \boldsymbol{3} &\equiv \sigma_{3} &
\boldsymbol{4} &\equiv \sigma_{4} & \boldsymbol{5} &\equiv \sigma_{5} & \boldsymbol{6} &\equiv \sigma_{6} \\
\end{align}
式(5.1)(5.2)を組み合わせると式(5.3)となります。この式は前節で説明した「置換2行表示」と似ていませんか？
この表示\(\{\tau_i \ [i=1,2,..,6]\}\) は正式名称がついていて
\(S_3\) の
「置換表現」と呼ばれています。
実はこの表示は【表2】を利用すれば簡単に求められます。即ち \(\{\tau_i\}\) の第2行目は【表2】の積表結果の第i行目を並べているだけです。
前節の
「置換2行表示」と
「置換表現」は似ていますが区別してください。
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
\rho_{per}(\sigma_1)&=\tau_1=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6}\\} \\
\rho_{per}(\sigma_2)&= \tau_2=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_2&\sigma_1&\sigma_6&\sigma_5&\sigma_4&\sigma_3\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{2}&\boldsymbol{1}&\boldsymbol{6}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{3}\\ } \\
\rho_{per}(\sigma_3)&= \tau_3=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_3&\sigma_5&\sigma_1&\sigma_6&\sigma_2&\sigma_4\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{3}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{1}&\boldsymbol{6}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{4}\\} \\
\rho_{per}(\sigma_4)&= \tau_4=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_4&\sigma_6&\sigma_5&\sigma_1&\sigma_3&\sigma_2\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{4}&\boldsymbol{6}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{1}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{2}\\} \\
\rho_{per}(\sigma_5)&= \tau_5=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_5&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_2&\sigma_6&\sigma_1\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{5}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{6}&\boldsymbol{1}\\} \\
\rho_{per}(\sigma_6)&= \tau_6=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_4&\sigma_5&\sigma_6\\ \sigma_6&\sigma_4&\sigma_2&\sigma_3&\sigma_1&\sigma_5\\}
=\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{5}&\boldsymbol{6} \\
\boldsymbol{6}&\boldsymbol{4}&\boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}&\boldsymbol{1}&\boldsymbol{5}\\} \\
\end{array}
\right.\\
\end{align}
この置換表現 \(\{\tau_i\}\) を使って、\(\{\tau_i\}\) 同士の積表作成すると【表3】となります。当然ですが【表3】は、
\(S_3\) の元の積表【表2】と全く同一の積表が出来ている事です。
【表3】\(S_6\) の元 \(\tau_i \circ \tau_j \) の積表
| \( i \backslash j \) | \(\tau_1\) | \(\tau_2\) | \(\tau_3\) | \(\tau_4\) | \(\tau_5\) | \(\tau_6\) |
| \(\tau_1\) | \(\tau_1\) | \(\tau_2\) | \(\tau_3\) | \(\tau_4\) | \(\tau_5\) | \(\tau_6\) |
| \(\tau_2\) | \(\tau_2\) | \(\tau_1\) | \(\tau_6\) | \(\tau_5\) | \(\tau_4\) | \(\tau_3\) |
| \(\tau_3\) | \(\tau_3\) | \(\tau_5\) | \(\tau_1\) | \(\tau_6\) | \(\tau_2\) | \(\tau_4\) |
| \(\tau_4\) | \(\tau_4\) | \(\tau_6\) | \(\tau_5\) | \(\tau_1\) | \(\tau_3\) | \(\tau_2\) |
| \(\tau_5\) | \(\tau_5\) | \(\tau_3\) | \(\tau_4\) | \(\tau_2\) | \(\tau_6\) | \(\tau_1\) |
| \(\tau_6\) | \(\tau_6\) | \(\tau_4\) | \(\tau_2\) | \(\tau_3\) | \(\tau_1\) | \(\tau_5\) |
さてこの置換表現(5.3) \(\{\tau_i\}\) を用いて、前節と全く同様に \(\{\tau_i\}\) の自然表現を求めます。
式(5.3)が示すように、\(\{\tau_i\}\) は
太文字の数値によって置換が表現されているので、その数値表現を使えば、式(5.4)(5.5)(5.6)の様に行列単位 \(E_{ij}\) を使用して \(\{\tau_i\}\) の自然表現 \( \rho_{n}(\tau_2)\) を、
求める事が出来ます。
\begin{align}
\rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma_2)= \rho_{n}(\tau_2)&=E_{\tau_2(1)1}+E_{\tau_2(2)2}+E_{\tau_2(3)3}+E_{\tau_2(4)4}+E_{\tau_2(5)5}+E_{\tau_2(6)6} \\
\notag \\
&=E_{21}+E_{12}+E_{63}+E_{54}+E_{45}+E_{36}\\
\end{align}
\begin{align}
\notag\\
\therefore \quad \rho_{n}(\tau_2)&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\colorbox{#FFFF00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0 & \colorbox{#FFFF00}{1} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \colorbox{#FFFF00}{1} & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \notag \\
\notag \\
&+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \colorbox{#FFFF00}{1} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \colorbox{#FFFF00}{1} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \colorbox{#FFFF00}{1}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \notag \\
\notag \\
& =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\end{align}
以下(5.7)～(5.9)が \(\{\tau_i\}\) の自然表現 \(\rho_{n}(\tau_i)\) となります。
そしてこの自然表現の行列は \(S_3\) の
「（左）正則表現」 \(L_i\) と呼ばれています。これで(Fig.1)の中に出てくる左正則表現 \(L_i\) を求める事が出来ました。
\begin{align}
&\rho_{n}(\tau_1)=L_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} &
&\rho_{n}(\tau_2)=L_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\notag \\
&\rho_{n}(\tau_3)=L_3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} &
&\rho_{n}(\tau_4)=L_4=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\notag \\
&\rho_{n}(\tau_5)=L_5=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} &
&\rho_{n}(\tau_6)=L_6=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\
\end{align}
まとめると、対称群の元 \(\sigma\)の左正則表現 \(\rho_{reg}(\sigma)\) は [正則表現]＝[自然表現] \(\circ\) [置換表現] と(5.10)の様に定式化
出来る事が判ります。
ここで再度注意しておきますが、「自然表現」の演算は【表1】の「置換2行表現」や(5.3)のような「置換表現」に対して
行列単位を対応させる演算です。(4.6)(4.7)の行列を自然表現と呼ぶこともありますが、「自然表現」はあくまでも
「置換2行表示」的な
数値の対応関係を行列単位を使って行列に対応させる演算子です。
\begin{align}
\rho_{reg}(\sigma) \equiv \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma) \\
\end{align}
