【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-8】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
(7.6)の16本の方程式を、 \(x_{i,j}\) を(8.1)の様に縦ベクトルとした時に、(7.6)を書き直すと(16x16)の行列を使った(8.2)の形の方程式となります。 ここの部分が(Fig.2)の(STEP2)の部分に相当します。\begin{align} [ x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},x_{1,4},x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},x_{2,4},x_{3,1},x_{3,2},x_{3,3},x_{3,4},x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]^T \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{B_2,...,B_{10}\}\) までの9個の行列を使って、(8.2)のような 方程式を生成し、全てを合体すると(144x16)の行列方程式となります。ここが(Fig.2)の(STEP3)に相当します。
その144本の方程式をガウス消去法で 行簡約階段形にまで変形すると(8.3)の様に(12x16)の行列で表現される連立方程式を得る事が出来ます。 ここの計算が(Fig.2)の(STEP4)に相当します。
\begin{align} &\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{1,3}\\x_{1,4}\\x_{2,1}\\x_{2,2}\\x_{2,3}\\x_{2,4}\\ x_{3,1}\\x_{3,2}\\x_{3,3}\\x_{3,4}\\x_{4,1}\\x_{4,2}\\x_{4,3}\\x_{4,4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \end{align}
(8.3)の方程式は未知数が16で、方程式の数は12です。従って4つのパラメーターを決めれば解が決定されます。
(8.3)をみると4つの変数 \([x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]\) が決まればほかの変数の値は決定します。 従って、独立の解としては(8.4)～(8.7)に示す4つのパラメーターの取り方が考えられます。 このパラメーターは(Fig.2)のSTEP4の黄色の部分に相当します。 それぞれのパラメータの取り方に対応した \([x_{1,1},...,x_{4,4}]\) の解が矢印の右に示されています。
\begin{align} &(1) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[1,0,0,0] \quad \rightarrow [0,0,0,1,0,0,-1,cs_1,cs_1,-1,0,0,1,0,0,0] \\ &(2) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,1,0,0] \quad \rightarrow [0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0] \\ &(3) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0, 0,1,0] \quad \rightarrow [0,1,0,0,-1,cs_1,0,0,0,0,cs_1,-1,0,0,1,0]\\ &(4) \ [x_{4,1},x_{4,2},x_{4,3},x_{4,4}]=[0,0,0,1] \quad \rightarrow [1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1] \\ \end{align}
上記(1)～(4)の解に対応した解の行列 \(\{X_1,..,X_4\}\) を(8.8)(8.9)に示します。
\begin{align} &X_1=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs_1\\cs_1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & &X_2=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &X_3= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & &X_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{X_1,..,X_4\}\) に対応する固有方程式を(8.3)に示します。この中で \((\lambda-1)^2\) の因子を持つ \(\{X_1,X_2\}\) の固有値1の固有ベクトルを \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\}\) とします。 この4つのベクトルを縦に並べて(8.11)の様に \(R_2\) と、その逆行列 \(R_2^{-1}\) を計算します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_1:(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{1}=[0,-1,1,0], \quad \mathbf{v}_{2}=[1,cs_1,0,1] \\ X_2 :(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2=0 \quad \rightarrow \quad \mathbf{v}_{3}=[1,0,1,0] , \quad \mathbf{v}_{4}=[0,1,0,1] \\ X_3:(\lambda^2-cs_1\lambda+1)^2=0 \\ X_4:(\lambda-1)^4=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &R_2=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}]= \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix} \qquad R_2^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{5}-5}{10} & -\frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10}\\ \frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}+5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10}\\ -\frac{\sqrt{5}-5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}+5}{10}\\ -\frac{\sqrt{5}+5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10} & \frac{\sqrt{5}+5}{10} & -\frac{\sqrt{5}-5}{10}\end{bmatrix}\\ \end{align}
次に、この \(\{R_2,R_2^{-1}\}\) を使って、(8.12)の様に\(\widetilde{B_i}\) を計算すると、(8.13)～(8.17)に示すように(4x4)の行列は(2x2)+(2x2)の小ブロックに分解される事が判ります。 この部分は(Fig.1)の(STEP2)の部分に相当します。
また、これら(2x2)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。
\begin{align} & \widetilde{B_i}=R_2^{-1} \times B_i \times R_2 & & & & \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\widetilde{B_1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_2}=\begin{bmatrix}cs_1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\\ \notag \\ &\widetilde{B_3}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs_1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_4}=\begin{bmatrix}-cs_1 & -cs_1 & 0 & 0\\cs_1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1\\0 & 0 & cs_1 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_5}= \begin{bmatrix}-1 & cs_1 & 0 & 0\\-cs_1 & -cs_1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_1\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_6}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_7}= \begin{bmatrix}-1 & cs_1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}& &\widetilde{B_8}=\begin{bmatrix}-cs_1 & -cs_1 & 0 & 0\\-1 & cs_1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs_1\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_9}=\begin{bmatrix}cs_1 & -1 & 0 & 0\\-cs_1 & -cs_1 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1\\0 & 0 & -1 & cs_1\end{bmatrix} & &\widetilde{B_{10}}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\cs_1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -1\\0 & 0 & -cs_1 & -cs_1\end{bmatrix} \\ \end{align}
