【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)
【4-6】\(F_{20}\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
前節では射影演算子の具体的な行列を求めました。各射影演算子 \(\{P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\}\) の行列の固有方程式を 計算すると(6.1)～(6.5)となり、固有値は、\(\{0,1\}\) となる事が判ります。そこで、これらの行列の固有値 \(1\) に関する固有ベクトル \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},....,\mathbf{v}_{19},\mathbf{v}_{20}\}\) を求め、 それらを(6.6)の様に合体すると、 \(F_{20}\)の正則表現をブロック分解する行列 \(Q\) を求める事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} P_1 \quad ( \lambda -1) \lambda^{19}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{1}=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_2 \quad ( \lambda -1) \lambda^{19} =0\\ \\ \mathbf{v}_{2}[-i,-i,-i,-i,-i,-1,-1,-1,-1,-1,i,i,i,i,i,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_3 \quad ( \lambda -1)\lambda^{19}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{3}=[-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_4 \quad ( \lambda -1) \lambda^{19}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{4}=[i,i,i,i,i,-1,-1,-1,-1,-1,-i,-i,-i,-i,-i,1,1,1,1,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} P_5 \quad ( \lambda -1)^{16} \lambda^{4}=0 \\ \\ \mathbf{v}_{5}=[-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{6}=[-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{7}=[-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{8}=[-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{9}= [0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]^T \\ \mathbf{v}_{10}=[0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{11}=[0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{12}=[0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{13}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{14}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{15}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{16}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{17}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{18}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,1,0,0] ^T \\ \mathbf{v}_{19}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0] ^T \\ \mathbf{v}_{20}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1] ^T \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(6.1)～(6.5) の24本のベクトを使って以下の様に変換行列 \(Q\) を構成します。
\begin{align} Q&=[\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6},\mathbf{v_{7}},\mathbf{v_{8}}, ..., \mathbf{v_{17}},\mathbf{v_{18}},\mathbf{v_{19}},\mathbf{v_{20}}] \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ Q&=\begin{bmatrix}1 & -i & -1 & i & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -i & -1 & i & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & i & -1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ Q^{-1}&=\frac{1}{24} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ i & i & i & i & i & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -i & -i & -i & -i & -i & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -i & -i & -i & -i & -i & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & i & i & i & i & i & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -4 & 16 & -4 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & -4 & 16 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & -4 & -4 & 16 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & -4 & -4 & -4 & 16 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 16 & -4 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & 16 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & 16 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & -4 & 16 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 16 & -4 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & 16 & -4 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & 16 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & -4 & 16 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 16 & -4 & -4 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & 16 & -4 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & 16 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & -4 & 16\end{bmatrix} \\ \end{align}
この \(\{Q,Q^{-1}\}\) を用いて \(F_{20}\) の左正則表現 \(L_i\) をブロック分解してみると(20x20)の行列は、(6.9)の様に小行列に分解されます。 行列の大きさが大きいので、一つだけ \(\breve{L_{11}}\) を例示しておきます。
\begin{align} \breve{L_{i}}=Q^{-1} \cdot L_{i} \cdot Q &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0&0\\ 0 & \boxed{ * }& 0 &0&0 \\ 0 &0& \boxed{ * }& 0&0 \\ 0 &0&0& \boxed{ * }& 0 \\ 0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} *&*&*&*&* \\ *&*&*&*&* \\ *&*&16 \times 16&*&* \\ *&*&*&*&* \\ *&*&*&*&* \\ \end{matrix}}\\ \end{pmatrix} \\ \end{align}
\begin{align} \breve{L_{11}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\\ \end{align}
以上の計算で、(Fig.1)の(STEP1)のブロック分解行列 \(Q\) と分解された正則表現\( \breve{L_{i}}\) を求める事が出来ました。
