【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-6】\(D_5\) の正則表現のブロック分解行列 \(Q\)
前節で求められた \(Q\) を用いて \(D_5\) の左正則表現をブロック分解してみると \( \breve{L_{i}}\) は (6.1)～(6.5)となります。\begin{align} \breve{L_{1}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \breve{L_{2}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{3}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} & \breve{L_{4}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{5}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\end{bmatrix} & \breve{L_{6}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{7}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & \breve{L_{8}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \breve{L_{9}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2 & 0 & 0\end{bmatrix} & \breve{L_{10}}&= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
ここで注意したいのは、(6.4)(6.5)より判る様に、射影演算子の独立ベクトルで構成された変換行列 \(Q\) では、最終的な既約表現にまでは分解できていません。 次節から更に既約表現にまで分解させる変換行列を求めてゆきます。
【3-7】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (1)
これから、(Fig.1)のSTEP2の上段の計算に移ります。これからの説明は、この部分を下図(Fig.2)でさらに詳細に説明してゆきます。
\begin{align} B_{1}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & B_{2}&=\begin{bmatrix}cs1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs1 & -1\\0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & B_{3}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\-1 & cs1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & cs1\end{bmatrix} \\ \notag \\ B_{4}&=\begin{bmatrix}-cs1 & -cs1 & 0 & 0\\cs1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs1 & -cs1\\0 & 0 & cs1 & -1\end{bmatrix} & B_{5}&=\begin{bmatrix}-1 & cs1 & 0 & 0\\-cs1 & -cs1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & cs1\\0 & 0 & -cs1 & -cs1\end{bmatrix} & B_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & cs1 & -1\\1 & 0 & 0 & 0\\cs1 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ B_{7}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & B_{8}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 & cs1\\0 & 0 & 0 & 1\\-1 & cs1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & B_{9}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & -cs1 & -cs1\\0 & 0 & -1 & cs1\\-cs1 & -cs1 & 0 & 0\\-1 & cs1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ B_{10}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & cs1 & -1\\0 & 0 & -cs1 & -cs1\\cs1 & -1 & 0 & 0\\-cs1 & -cs1 & 0 & 0\end{bmatrix} & & & & & \\ \end{align}
次に単位行列 \(B_1\) 以外の9個の行列 \(\{B_2,...,B_{10}\}\) 全てと交換可能な行列 \(X\) を求めます。 \(X\) の16の成分を \(x_{i,j}\) とします。
\begin{align} X=\begin{bmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{1,4}\\x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{2,4}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & x_{3,4}\\x_{4,1} & x_{4,2} & x_{4,3} & x_{4,4}\end{bmatrix} \end{align}
この時 \(X\) が全ての \(B_i\) と交換可能なための条件は、 \(X \cdot B_i-B_i \cdot X=0\) となります。 \(B_2\) の例を式(7.6)に示します。(7.6)は \(x_{i,j}\) に関して、16本の方程式を提供します。ここが(Fig.2)の(STEP1)の部分に相当します。
\begin{align} &X \cdot B_2-B_2 \cdot X= \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\begin{pmatrix}x_{2,1}+x_{1,2} & -x_{1,2} cs_1+x_{2,2}-x_{1,1} & x_{2,3}+x_{1,4} & -x_{1,4} cs_1+x_{2,4}-x_{1,3}\\ x_{2,1} cs_1+x_{2,2}-x_{1,1} & -x_{2,1}-x_{1,2} & x_{2,3} cs_1+x_{2,4}-x_{1,3} & -x_{2,3}-x_{1,4}\\ x_{4,1}+x_{3,2} & -x_{3,2} cs_1+x_{4,2}-x_{3,1} & x_{4,3}+x_{3,4} & -x_{3,4} cs_1+x_{4,4}-x_{3,3}\\ x_{4,1} cs_1+x_{4,2}-x_{3,1} & -x_{4,1}-x_{3,2} & x_{4,3} cs_1+x_{4,4}-x_{3,3} & -x_{4,3}-x_{3,4}\end{pmatrix}=0 \\ \end{align}
