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【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)

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【4-4】\(F_{20}\) の置換表現と正則表現 \(L_i\)

この節では、群の表現では最も重要な「正則表現」と言う行列を定義します。
【表2】の積表を利用して以下の式(4.1)で「置換表現」 \(\rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i \ [i=1,2,..,20]\) を定義します。

\begin{align} \rho_{per}(\sigma_i):=\tau_i= \pmatrix{ \sigma_1& \sigma_2& ...&\sigma_{19}&\sigma_{20}\\ \sigma_i \circ \sigma_1& \sigma_i \circ \sigma_2& ... & \sigma_i \circ \sigma_{19}& \sigma_i \circ \sigma_{20}}\\ \end{align}

更に式(4.2)の様に \(\sigma_i\) を太文字の数字 \(\boldsymbol{i}\) を使って表示することにします。

\begin{align} &\boldsymbol{1} \equiv \sigma_{1} \quad \boldsymbol{2} \equiv \sigma_{2} \quad \boldsymbol{3} \equiv \sigma_{3} \quad ...... \quad \boldsymbol{18} \equiv \sigma_{18} \quad \boldsymbol{19} \equiv \sigma_{19} \quad \boldsymbol{20} \equiv \sigma_{20} \\ \end{align}

式(4.1)(4.2)を組み合わせると式(4.3)となります。 この表示\(\{\tau_i \ [i=1,2,..,20]\}\) は正式名称がついていて \(F_{20}\) の「置換表現」と呼ばれています。
実はこの表示は【表2】を利用すれば簡単に求められます。即ち \(\{\tau_i\}\) の第2行目は【表2】の積表の第i行目を並べているだけです。 【表1】 の「置換2行表示」と(4.3)の「置換表現」は似ていますが区別してください。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_{per}(\sigma_1)=\tau_1= \pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{19} & \sigma_{20}\\ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{19} & \sigma_{20}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{19}&\boldsymbol{20} \\ \boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{19}&\boldsymbol{20}\\} \\ \rho_{per}(\sigma_2)= \tau_2=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{19} & \sigma_{20}\\ \sigma_2&\sigma_3&\ ... &\sigma_{17}&\sigma_{18}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{19}&\boldsymbol{20} \\ \boldsymbol{2}&\boldsymbol{3}& ... &\boldsymbol{17}&\boldsymbol{18}\\ } \\ \\ \qquad .......\\ \\ \rho_{per}(\sigma_{19})= \tau_{19}=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{19} & \sigma_{20}\\ \sigma_{19}&\sigma_{18}& ... &\sigma_{14}&\sigma_{11}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{19}&\boldsymbol{20} \\ \boldsymbol{19}&\boldsymbol{18}& ... &\boldsymbol{14}&\boldsymbol{11}\\} \\ \rho_{per}(\sigma_{20})= \tau_{20}=\pmatrix{ \sigma_1&\sigma_2& ... &\sigma_{19} & \sigma_{20}\\ \sigma_{20}&\sigma_{19}& ... &\sigma_{13}&\sigma_{15}\\} =\pmatrix{\boldsymbol{1}&\boldsymbol{2}& ... &\boldsymbol{19}&\boldsymbol{20} \\ \boldsymbol{20}&\boldsymbol{19}& ... &\boldsymbol{13}&\boldsymbol{15}\\} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}

この置換表現 \(\{\tau_i\}\) を使って、\(\{\tau_i\}\) 同士の積表作成すると【表2】の積表の \(\sigma\) が \(\tau\) に変わっただけで、全く同一の積表となります。

(4.3)の置換表現を使うと、\(\{\tau_i\}\) は太文字の数値によって置換が表現されます。その数値表現を使えば、(4.4)に示すように 行列単位 \(E_{ij}\) を使用して \(\{\tau_i\}\) の自然表現 \( \rho_{n}(\tau_2)\) を求める事が出来ます。 又この自然表現の行列は \(F_{20}\) の「左正則表現」 と呼ばれています。それから今後、左正則表現を \(L_i\) と記すことにします。
この段階で(Fig.1)の(STEP1)の \(L_i\) が計算出来ました。

\begin{align} \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma_2)&\equiv \rho_{n}(\tau_2)=\displaystyle \sum_{k=1}^{20}E_{\tau_2(k),k} \\ &=E_{\tau_2(1),1}+E_{\tau_2(2),2}+....+E_{\tau_2(19),{19}}+E_{\tau_2(19),{19}} \notag \\ \notag \\ &\Downarrow \quad \because \ \tau_2(1)=2, \ \tau_2(2)=3, ...., \tau_2(19)=17, \ \tau_2(20)=18 \notag \\ \notag \\ &=E_{2,1}+E_{3,2}+....+E_{{17},{19}}+E_{{18},{20}}\\ \end{align}

\begin{align} \notag\\ &\therefore \quad \rho_{n}(\tau_2)=L_2 =\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}

\(F_{20}\) の「左正則表現」 \(L_i\) は(20x20)の大きな行列なので、全てを記載することは 意味がないと思うので、 \(L_{12},L_{20}\) を下に示しておきます。

\begin{align} &\rho_{n}(\tau_{12}):=L_{12} =\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\rho_{n}(\tau_{20}):=L_{20}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}

まとめると、対称群の元 \(\sigma\)の左正則表現 \(\rho_{reg}(\sigma)\) は　[正則表現]＝[自然表現] \(\circ\) [置換表現]　と(4.9)の様に定式化 出来る事が判ります。
ここで再度注意しておきますが、「自然表現」の演算は【表1】の「置換2行表現」や(4.3)のような「置換表現」に対して 行列単位を対応させる演算です。「自然表現」はあくまでも「置換2行表示」的な 数値の対応関係を行列単位を使って行列に対応させる演算子です。

\begin{align} \rho_{reg}(\sigma) \equiv \rho_{n} \circ \rho_{per}(\sigma) \\ \end{align}

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