【第4章】Frobenius群 \(F_{20}\)
【4-8】小行列 \(B_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
前節で、全ての小ブロック \(B_i\) と交換可能な行列 \(\{X_1,..,X_{15}\}\) に対応する固有方程式を(8.1)に示します。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &X_{1} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}}{{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 & &X_{2} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 \\ &X_{3} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 & &X_{4} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 \\ &X_{5} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{8}} {{\left( \lambda +1\right) }^{8}} =0 & &X_{6} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{8}} {{\left( \lambda +1\right) }^{8}} =0 \\ &X_{7} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{8}} {{\left( \lambda +1\right) }^{8}} =0 & &X_{8} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{8}} {{\left( \lambda +1\right) }^{8}} =0 \\ &X_{9} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 & &X_{10} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 \\ &X_{11} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 & &X_{12} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{4}} {{\left( \lambda +1\right) }^{4}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{4}} =0 \\ &X_{13} \ : \ {{\left( {{\lambda }^{4}}+{{\lambda }^{3}}+{{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{4} }=0 & &X_{14} \ : \ {{\left( {{\lambda }^{4}}+{{\lambda }^{3}}+{{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{4}} =0 \\ &X_{15} \ : \ {{\left( {{\lambda }^{4}}+{{\lambda }^{3}}+{{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{4}} =0 & &X_{16} \ : \ {{\left( \lambda -1\right) }^{16}}=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
先ず、(16x16)の行列を4つの(4x4)の小行列に分解するわけなので、\(\{X_i\}\) の中で固有値 \((\lambda-1)^4\) の因子を持つ8個の行列 \(\{X_j \ [j=1,2,3,4,9,10,11,12]\}\) の固有値１に 対応する固有ベクトルを計算します。
すると合計32個のベクトルが得られるわけですが、順に独立なベクトル16本を選定すると、結局 \(\{X_1,X_2,X_3,X_4\}\) の固有値だけで十分事足りる事が判りました。 そこで、この16本の固有ベクトルを縦ベクトルと考え、順に並べると小ブロック \(\{B_i\}\) を既約分解する変換行列 \(R\) となります。。
この行列 \(R\) がここまでの手続きが(Fig1)(STEP2)となります。
\begin{align} R=&\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R^{-1}=\frac{1}{5} &\begin{bmatrix}-1 & -1 & -2 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 1 & -2 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -2 & -1 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ -2 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & -1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 1 & -1 & -1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1\\ -1 & -2 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & -2 & -1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
小ブロック\(\{B_i\}\)を上記変換行列を使って、既約表現 \( \widetilde{B_i}\) まで分解した具体例をいくつか挙げておきます。
\begin{align} & \widetilde{B_i}=R^{-1} \times B_i \times R & & & & \\ \end{align}
\begin{align} &\widetilde{B_2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_6}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_{11}}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\widetilde{B_{16}}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & \end{align}
