【第2章】対称群 \(S_4\)
【2-10】小行列 \(D_i\) と可換な行列 \(X\) (2)
前節の(9.5)の81本の方程式を(Fg.3)の(STEP1)の形の行列を使った方程式の形に変形した式は(81x81)と大型な 行列を使うので、このページには収まりきれません。ましてや(Fig.3)(STEP3)の(1863x81)の行列の方程式や、(STEP4)の ガウス消去法で行簡約階段形にまで変形された行列の方程式も記述することはできません。従って、(Fig.3)の(STEP4)の解である全ての \(D_i\) と交換可能な行列 \(X_i\) は以下の様にどうにか記述できます。 但し、最後の \(X_{9}\) は単位行列なので省略します。
\begin{align} X_{1}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{2}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_{3}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{4}&=\begin{bmatrix}-1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\-1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_{5}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ X_{7}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\-1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\-1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & X_{8}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\-1 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1\\0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
\(\{X_1,..,X_8\}\) に対応する固有方程式を(10.5)に示します。この中で特に \( (\lambda-1)^3\) の因子を持つ \(\{X_1,X_2,X_3,X_7,X_8\}\) の固有ベクトルを (10.5)の様に計算します。
この15本の中で独立なベクトル9本を選び出して、 \(\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},...,\mathbf{v}_{9}\}\) としたのが(10.6)です。
よく見ると \(\{X_1,X_2,X_8 \}\) の固有ベクトル3本づつ合計9本で十分でした。 \(\{X_7,X_8\}\) の固有ベクトルまでは使う必要がありませんでした。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} X_{1}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,-1,0,1,0,0,1,0,0]^T, [0,-1,1,0,0,1,0,1,0]^T,[1,-1,0,0,1,0,0,0,1]^T \\ \\ X_{2}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T, [1,0,0,1,0,0,0,1,0]^T, [0,1,1,0,1,1,0,0,1]^T \\ X_{3}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda +1\right) }^{3}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T, [1,0,0,1,0,0,0,1,0]^T, [0,1,1,0,1,1,0,0,1]^T \\ X_{4}:{{\left( \lambda +1\right) }^{3}} {{\left( {{\lambda }^{2}}+1\right) }^{3}}=0 \\ X_{5}:{{\left( \lambda -1\right) }^{6}} {{\left( \lambda +1\right) }^{3}}=0 \\ X_{6}:{{\left( \lambda -1\right) }^{6}} {{\left( \lambda +1\right) }^{3}}=0 \\ X_{7}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}}{{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \quad \rightarrow \quad [0,1,0,1,0,0,0,0,0]^T,[-1,0,1,0,0,1,0,0,0]^T, [0,0,0,0,1,0,1,-1,1]^T \\ X_{8}:{{\left( \lambda -1\right) }^{3}} {{\left( \lambda +1\right) }^{6}}=0 \quad \rightarrow \quad [1,0,-1,1,0,0,0,0,0]^T, [0,1,0,0,1,0,0,0,0]^T, [0,0,0,0,0,1,-1,1,1]^T \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &\mathbf{v}_{1}=[0,-1,0,1,0,0,1,0,0]^T & &\mathbf{v}_{2}=[0,-1,1,0,0,1,0,1,0]^T & &\mathbf{v}_{3}=[1,-1,0,0,1,0,0,0,1]^T \\ &\mathbf{v}_{4}=[0,0,0,0,0,0,1,0,0]^T & &\mathbf{v}_{5}=[1,0,0,1,0,0,0,1,0]^T & &\mathbf{v}_{6}=[0,1,1,0,1,1,0,0,1]^T \\ &\mathbf{v}_{7}=[1,0,-1,1,0,0,0,0,0]^T & &\mathbf{v}_{8}=[0,1,0,0,1,0,0,0,0]^T & &\mathbf{v}_{9}=[0,0,0,0,0,1,-1,1,1]^T \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
この9本の縦ベクトルを(10.7)の様にならべて構成した行列を小ブロック行列 \(D_i\) を既約表現に分解する変換行列 \(R_3\) とします。
\begin{align} &R_3=[\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4},\mathbf{v}_{5},\mathbf{v}_{6},\mathbf{v}_{7},\mathbf{v}_{8},\mathbf{v}_{9}] \\ \end{align}
\begin{align} &R_3= \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad R_3^{-1} = \begin{bmatrix}-\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0 & -\frac{3}{4}\\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} \\ \end{align}
次に、この \(\{R_3,R_3^{-1}\}\) を使って、(10.9)の様に\(\widetilde{D_i}\) を計算すると、(10.10)～(10.13)に示すように (9x9)の行列は(3x3)+(3x3)+(3x3)の小ブロックに分解される事が判ります。 これら(3x3)の小ブロックは \(L_i\) の既約表現になっています。この部分の計算は(Fig.1)の(STEP2)の第2行目の部分に相当しております。
\begin{align} & \widetilde{D_i}=R_3^{-1} \times D_i \times R_3 \\ \end{align}
\begin{align} \widetilde{D_{2}}&=\begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \widetilde{D_{3}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{D_{7}}&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{D_{8}}&= \begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{D_{15}}&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{D_{16}}&= \begin{bmatrix}-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad ..... & & \notag \\ \notag \\ \widetilde{D_{23}}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{D_{24}}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \end{align}
